Oblicz obwód i długość krótszej przekątnej trapezu

[Santo]

Potrzebuję pomocy! Mam problem z zadaniem.

Zadanie:

Dany jest trapez o kątach przy podstawie mających miary \(\displaystyle{ 30^o}\) i \(\displaystyle{ 45^o}\) i krótszym ramieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Pole powierzchni tego trapezu wynosi \(\displaystyle{ 10+2\sqrt{3}}\). Oblicz obwód trapezu i długość jego krótszej przekątnej.

[tamara]

Dany jest trapez o kątach przy podstawie mających miary \(\displaystyle{ 30^o}\) i \(\displaystyle{ 45^o}\) i krótszym ramieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Pole powierzchni tego trapezu wynosi \(\displaystyle{ 10+2\sqrt{3}}\). Oblicz obwód trapezu i długość jego krótszej przekątnej.

Narysuj ten trapez a następnie z wierzchołków kątów rozwartych narysuj wysokości tego trapezu.

Zauważ trójkąt o kącie \(\displaystyle{ 45^o}\) i o bokach:
- krótsze ramię trapezu (\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)),
- wysokość trapezu,
- kawałek dłuższej podstawy trapezu,
To trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu 2 (jedno ramię tego trójkąta to wysokośc trapezu, drugie ramię to kawałek dłuższej podsatwy trapezu).

Mamy więc wysokośc trapezu 2.
Zauważ trójkąt o kącie \(\displaystyle{ 30^o}\) i o bokach:
- dłuższe ramię trapezu,
- wysokość trapezu 2,
- kawałek dłuższej podstawy trapezu,
To połówka trójkąta równobocznego o boku 4 i wysokości \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) (dłuższe ramię trapezu ma długość 4, a kawałek dłuższej podsatwy ma długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)).

Oznacz krótszą podstawę jako x, wtedy dłuższa podstawa ma długość (\(\displaystyle{ 2+x+2\sqrt{3}}\))

Wstaw to do wzoru na pole trapezu:
\(\displaystyle{ 10 + 2\sqrt{3} = \frac{2(x+(2+x+2\sqrt{3})}{2}}\)
Otrzymasz: \(\displaystyle{ x = 4}\)

Możesz teraz obliczyć obwód tego trapezu.

------

Teraz zrób drugi rysunek trapezu, na którym zaznaczysz tylko:
- krótszą przekątną trapezu (przecina kąt \(\displaystyle{ 45^o}\)),
- wysokość trapezu z wierzchołka kąta rozwartego "bliższego" kątowi \(\displaystyle{ 30^o}\)i (ma długość 2),
- trzeci bok powstającego trójkąta prostokątnego (ma długość \(\displaystyle{ x+2}\) czyli 6)
Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz tę krótszą przekątną (powinno wyjśc \(\displaystyle{ 2\sqrt{10}}\)).