Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trapez

[the moon]

Na okręgu opisano trapez, którego ramiona tworzą z podstawą kąty ostre L i B. Pole trapezu jest równe P. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trapez.

[Zlodiej]

Zauważ, że wysokość tego trapezu będzie równa 2r stąd P=(a+c)r r=P/(a+c)

Oznaczam podstawy trapezu jako a,c a jego ramiona tak jak kąty tylko że malymi literkami czyli l,b

Skoro trapez jest opisany na okregu zachodzi równość a+c=l+b czyli r=P/(l+b)

Korzystając z trygonometri zauważ że 2r/l=sin(L) i 2r/b=sin(B) l+b=2r(1/sin(L)+1/sin(B)) Podstawiajac do wczesniejszego wzoru mamy:

\(\displaystyle{ \LARGE r=\frac{P}{2r(\frac{1}{sin(B)}+\frac{1}{sin(L)})}r=\sqrt{\frac{P}{2(\frac{1}{sin(B)}+\frac{1}{sin(L)})}}}\)