suma odległości punktu wewnetrznego wielokąta od

[Mika24]

Muszę udowodnić lub obalić następujące hipotezy:
1. Suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz dowolnego trójkąta od jego boków jest stała
2. Suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz wielokąta foremnego od jego boków jest stała.

Co do pierwszej hipotezy próbowałam już na rózne sposoby. Najbardziej optymalny wydaje mi się obranie dwóch punktów należących do wysokości danego trójkąta (jeden w połowie wysokości, drugi w 1/4) i pokazanie że te odległości są różne (podejrzewam bowiem, ze hipoteza jest fałszywa) jednak próby korzystana z różnych twierdzeń (Tales, rzutowanie, itd) nie przysniosły rezultatu. Nie interesuje mnie dowód dla trójkąta równobocznego (ów dowód znam), chodzi mi o pokazanie tego dla dowolnego trójkąta.

Jeśli chodzi o drugą hipotezę wykazałam, że suma jest stała dla 2n-kąta i wynosi ona połowę sumy długości wszystkich boków. Jednak nie potrafie przeprowadzic dowodu dla 2n+1 kąta.

Będe wdzięczna za wszelką pomoc.

[Mistrz]

Czegoś ważnego nie napisałaś. Suma odległości od czego? Domyślam się, że od prostych zawierających boki, ale napisz to wprost

[Mika24]

No tak, rzeczywiście Suma odległości od boków (lub prostych zawierających boki wielokąta).

[Mistrz]

W punkcie 1. weź trójkąt \(\displaystyle{ (0,0), (4,0), (0,4)}\) i punkty \(\displaystyle{ P_1 = (1,1), P_2 = (2,1)}\).

[Mika24]

Heh, próbowałam zrobić na ogólnym przypadku z użyciem zmiennych. Tylko utrudniałam sobie sprawę. W takim razie pkt. 1 zrobiony. Dziękuję

Proszę jeszcze o jakieś wskazówki jeśli chodzi o drugi punkt.

[Mistrz]

Hm, a jak pokazywałaś dla parzystokątów? Może da się jakoś podobnie? Albo może podobnie do dowodu dla trójkąta równobocznego?

[piasek101]

1) Dziś chyba tu widziałem - weź punkt leżący prawie w wierzchołku - suma odległości to jego wysokość (prawie) poprowadzona od tego wierzchołka - zatem nie działa, bo najczęściej trójkąt ma różne wysokości.

[Mika24]

A jednak dla 2n-kąta popełniłam błąd :/ dla kwadratu jest 2a, gdzie a to długość boku, dla sześciokąta 3 \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) a. Więc w obu przypadkach poproszę o podpowiedzi jak wykonać formalny dowód.

Jeśli chodzi o 2n-kąty to sprawa jest na tyle ułatwiona, że odcinki, które wyznaczają odległości punktu P mogę przesunąć tak, aby punkt P był środkiem okręgu opisanego na 2n-kącie i łącząc wierzchołki wielokąta otrzymuję trójkąty równoramienne.

Dla 2n+1 kąta takiej operacji juz nie mogę zrobić.

[piasek101]

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ 2n}\) masz boki parami równoległe - zatem suma odległości dowolnego punktu leżącego między równoległymi jest stała.