Strona 1 z 1

Trapez równoramienny (kąt przecięcia przekątnych)

: 16 sty 2012, o 20:27
autor: offtyper
W trapezie równoramiennym ABCD, dane są: kąt DAB = \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\), |BD| = 14 (przekatna e) , \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{AD} = \frac{8}{5}}\)

Oblicz: |AD|, |AB|, |CD| i kąt przecięcia przekątnych

Obiczyłem pierwsze trzy z powyższych: c=10, a=16, b=6, ale nie potrafię wyznaczyć tego kąta. Proszę o pomoc.
Dodam, że odpowiedź to \(\displaystyle{ arccos \frac{-23}{98}}\)

P.S. W zadaniu po wyliczeniu pola wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{2mn}{sin \alpha }}\), według odp. powinno być zamiast 2 w liczniku: 4. Czy mam dobrze, czy może zrobiłem błąd?

Pozdrawiam,
offtyper.

Trapez równoramienny (kąt przecięcia przekątnych)

: 16 sty 2012, o 20:39
autor: Inkwizytor
To może takie podejście:
- mając długości boków możesz znaleźć wysokość w trapezie
- możesz znaleźć pole trójkąta ABC ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{|AB| \cdot h}{2}}\)
- następnie ten fakt oraz znajomość długości przekątnej wykorzystaj do znalezienia sinusa kąta CAB
- dzięki temu że mamy trapez równoramienny znalezienie kąta przecięcia przekątnych już nie stanowi problemu

Oczywiście krócej pisząc sinus nachylenia przekątnej do dłuższej podstawy to po prostu \(\displaystyle{ \frac{h}{|AC|}}\)

Trapez równoramienny (kąt przecięcia przekątnych)

: 16 sty 2012, o 22:02
autor: offtyper
Wielkie dzięki za pomoc.
Doszedłem do ostatniego punktu. Jak znaleźć ten kąt przecięcia?
Mam trójkąt równoramienny, podstawę a = 16, kąt beta (ramię do podstawy) = arcsin(5pi/12) i nie wiem co dalej, jak wyliczyć kąt wyznaczony przez ramiona trójkąta?

Trapez równoramienny (kąt przecięcia przekątnych)

: 17 sty 2012, o 00:10
autor: Inkwizytor
Niech punkt E oznacza punkt przecięcia się przekątnych.
Szukasz \(\displaystyle{ \angle AEB}\) oznaczmy go jako \(\displaystyle{ \beta}\).
\(\displaystyle{ \beta = 180^o - 2 \alpha}\)
Skoro znasz \(\displaystyle{ \sin{\alpha}}\) to bez trudu znajdziesz np.: \(\displaystyle{ \sin \beta}\)