Dowód dot. równoległoboku
-
Paulpentax
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: nie mam pojęcia:)
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 5 razy
Dowód dot. równoległoboku
Na bokach równoległoboku ABCD po zewnętrznej stronie budujemy kwadraty. Udowodnij, że środki tych kwadratów również tworzą kwadrat.
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Dowód dot. równoległoboku
Tw. Aubel'a może pomóc:
Wynika z niego, że odcinki łączące środki kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach równoległoboku są tej samej długości i prostopadłe, czyli tak jak w kwadracie. Trzeba jeszcze pokazać, że przecinają się w połowie.
-- 11 sty 2012, o 00:11 --
Przekątne w równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w połowie. Środek kwadratu zbudowanego na boku \(\displaystyle{ AB}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ E}\), boku \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ F}\), boku \(\displaystyle{ CD}\) przez \(\displaystyle{ G}\), boku \(\displaystyle{ AD}\) przez \(\displaystyle{ H}\). Przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) niech będą kąty ostre. Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) niech przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Zauważmy, że jeżeli wierzchołek \(\displaystyle{ D}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przesuniemy na miejsce środka \(\displaystyle{ H}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) na środek \(\displaystyle{ F}\), to otrzymamy prostokąt \(\displaystyle{ AFCH}\),którego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Analogicznie jeżeli wierzchołek \(\displaystyle{ D}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przesuniemy na miejsce środka \(\displaystyle{ G}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) na środek \(\displaystyle{ E}\), to otrzymamy prostokąt \(\displaystyle{ AECG}\),którego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Przekątne prostokątów przecinają się w połowach, a przekątna \(\displaystyle{ FH}\) prostokąta \(\displaystyle{ AFCH}\) i przekątna \(\displaystyle{ EG}\) prostokąta \(\displaystyle{ AECG}\) są to przekątne czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\). Skoro przekątne \(\displaystyle{ EG}\) i \(\displaystyle{ FH}\) przecinają się w połowach w punkcie \(\displaystyle{ S}\), a z tw. Aubel'a wynika, że przekątne te są równej długości i przecinają się pod kątem prostym. Czyli czworokąt \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem.
Ps. Nie wiem czy takie wyjaśnienie jest wystarczające.
Wynika z niego, że odcinki łączące środki kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach równoległoboku są tej samej długości i prostopadłe, czyli tak jak w kwadracie. Trzeba jeszcze pokazać, że przecinają się w połowie.
-- 11 sty 2012, o 00:11 --
Przekątne w równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przecinają się w połowie. Środek kwadratu zbudowanego na boku \(\displaystyle{ AB}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ E}\), boku \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ F}\), boku \(\displaystyle{ CD}\) przez \(\displaystyle{ G}\), boku \(\displaystyle{ AD}\) przez \(\displaystyle{ H}\). Przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) niech będą kąty ostre. Przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) niech przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Zauważmy, że jeżeli wierzchołek \(\displaystyle{ D}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przesuniemy na miejsce środka \(\displaystyle{ H}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) na środek \(\displaystyle{ F}\), to otrzymamy prostokąt \(\displaystyle{ AFCH}\),którego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Analogicznie jeżeli wierzchołek \(\displaystyle{ D}\) równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przesuniemy na miejsce środka \(\displaystyle{ G}\), a wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) na środek \(\displaystyle{ E}\), to otrzymamy prostokąt \(\displaystyle{ AECG}\),którego przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
Przekątne prostokątów przecinają się w połowach, a przekątna \(\displaystyle{ FH}\) prostokąta \(\displaystyle{ AFCH}\) i przekątna \(\displaystyle{ EG}\) prostokąta \(\displaystyle{ AECG}\) są to przekątne czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\). Skoro przekątne \(\displaystyle{ EG}\) i \(\displaystyle{ FH}\) przecinają się w połowach w punkcie \(\displaystyle{ S}\), a z tw. Aubel'a wynika, że przekątne te są równej długości i przecinają się pod kątem prostym. Czyli czworokąt \(\displaystyle{ EFGH}\) jest kwadratem.
Ps. Nie wiem czy takie wyjaśnienie jest wystarczające.