koła wpisane i opisane na kwadracie

[iwona041]

wykaż, że pole koła opisanego na kwadracie jest dwa razy większe od koła wpisanego w ten kwadrat

[piasek101]

Promienie tych kół wyznacz np w zależności od boku kwadratu (\(\displaystyle{ a}\)); albo wygodniej (bo bezułamkowo (\(\displaystyle{ 2a}\)).

[JakubCh]

bok kwadratu przyjmijmy \(\displaystyle{ a}\)
promień okręgu wpisanego to połowa \(\displaystyle{ a}\) zatem \(\displaystyle{ r \frac{a}{2}}\).
pole okręgu wpisanego to \(\displaystyle{ P _{wpisanego} = \pi \cdot r ^{2} = \pi \cdot \frac{ a^{2} }{4}}\)

promień okręgu opisanego to połowa przekątnej
a przekątna to ( z twierdzania Pitagorasa ) \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\)
zatem \(\displaystyle{ R= \frac{ a \sqrt{2}}{2}}\)
więc pole okręgu opisanego to \(\displaystyle{ P _{opisanego} = \pi \cdot \left( \frac{ a \sqrt{2}}{2}\right) ^{2} = \pi \cdot \frac{ a^{2} }{2}}\)

teraz porównujemy
\(\displaystyle{ \frac{R}{r} = \frac{ \pi \cdot \frac{ a^{2} }{2} }{ \pi \cdot \frac{ a^{2} }{4} } = 2}\)