koło wpisane w romb

[iwona041]

pole rombu wynosi 36, a jedna z przekątnych tego rombu jest 2 razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość boku tego rombu i pole koła wpisanego w ten romb.

[JakubCh]

dane masz pole czyli \(\displaystyle{ \frac{ef}{2} = 36}\) e i f to przekątne.
wiesz że \(\displaystyle{ e = 2f}\) więc podstawiasz do wyzszego rownania i masz
\(\displaystyle{ \frac{2f ^{2} }{2} =36}\)
\(\displaystyle{ f ^{2} = 36}\)
pierwiastkujesz i
\(\displaystyle{ f=6}\)
zatem \(\displaystyle{ e = 2 \cdot 6 = 12}\)
teraz korzystasz z tego że przekątne przecinają się pod kontem prostym i miejsce przecięcia dzieli je na 2 równe odcinki.
zatem bok a rombu będzie można wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a ^{2} = \left( \frac{f}{2} \right) ^{2} +\left( \frac{e}{2} \right) ^{2}}\)
stąd \(\displaystyle{ a ^{2} = \frac{f ^{2} }{4}+ \frac{e ^{2} }{4}}\),
\(\displaystyle{ a ^{2} = \frac{f ^{2} }{4} + \frac{4f ^{2} }{4}}\),
\(\displaystyle{ a ^{2} = \frac{5f ^{2} }{4}}\)
zatem \(\displaystyle{ a = \frac{6 \sqrt{5} }{2}}\),
\(\displaystyle{ a=3 \sqrt{5}}\)

pole rombu można także policzyć wzorem \(\displaystyle{ a \cdot h = 36}\)
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{5} \cdot h = 36}\),
\(\displaystyle{ h= \frac{12}{ \sqrt{5} }}\)
\(\displaystyle{ h = \frac{12 \sqrt{5} }{5}}\)

wiadomo że promień okręgu wpisanego to połowa wysokości zatem:
\(\displaystyle{ r = \frac{h}{2} = \frac{12 \sqrt{5} }{10} = 1,2 \sqrt{5}}\)

i teraz liczysz sobie pole ze wzoru
\(\displaystyle{ P _{okr} = \pi \cdot r ^{2}}\),
\(\displaystyle{ P _{okr} \approx 3,14 \cdot 1,44 \cdot 5}\)
\(\displaystyle{ P _{okr} \approx 22,6}\)