Mamy trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\), w który można wpisać okrąg. Podstawy trapezu wynoszą \(\displaystyle{ a=8, b=2}\), ramiona \(\displaystyle{ c=5}\). Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.
Pozdrawiam
Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych trapezu.
-
Freddy Eliot
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 11 kwie 2011, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 88 razy
Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych trapezu.
Coś mi się tu nie zgadza: jeżeli obwód trapezu jest równy \(\displaystyle{ 20}\), to niemożliwym jest żeby był zbudowany z odcinków o długości: \(\displaystyle{ 8,\ 5,\ 5,\ 4.}\)
-
Freddy Eliot
- Użytkownik
- Posty: 402
- Rejestracja: 11 kwie 2011, o 19:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 88 razy
Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych trapezu.
Zrób rysunek trapezu. Zaznacz na nim okrąg i przekatne trapezu, a także wysokość \(\displaystyle{ h}\) trapezu przechodzącą przez środek okręgu. Przekątne nie przecinają się w tym samym punkcie co środek okręgu. Przekątątne trapezu dzielą go na 4 trójkąty. Trójkąty poczne będą miały równe pola, natomiast trójąty przy podstawach trapezu będą podobne (zasada kkk).
Przejdźmy teraz do tego co mamy obliczyć.
Odległość punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki jest niczym innym jak wysokością trójkąta bocznego. Jest to wysokość opadająca z punktu przecięcia przekątnych trapezu do jego ramienia. Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ d.}\) Aby obliczyć \(\displaystyle{ d}\) musimy znaleźć pole trójkąta bocznego.
\(\displaystyle{ P_{tr}= \frac{(2+8)h}{2} ,}\) gdzie \(\displaystyle{ h=2r, \ r}\) jest promieniem okręgu. Możemy je obliczyć przy pomocy twierdzenia Pitagorasa. \(\displaystyle{ r=2.}\) Zatem \(\displaystyle{ P_{tr}=20.}\)
Dalej \(\displaystyle{ P_{tr}=2P_{b}+P_{g}+P_{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{b}}\) to pole trójkąta leżącego przy ramieniu trapezu, \(\displaystyle{ P_{g}, \ P_{d}}\) to odpowiednio pole trójkątów leżących przy górnej i dolnej podstawie. Jak pisałam trójkąty leżace przy górnej i dolnej podsatwie będą podobne. Skorzystaj z tego i wylicz wysokości tych trójkątów.
Dalej już z górki: Wyliczasz pola \(\displaystyle{ P_{g},\ P_{d}}\) i przy ich pomocy obliczasz \(\displaystyle{ P_{b}.}\) Mając \(\displaystyle{ P_{b}}\) znajdujesz \(\displaystyle{ d.}\)
Przejdźmy teraz do tego co mamy obliczyć.
Odległość punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki jest niczym innym jak wysokością trójkąta bocznego. Jest to wysokość opadająca z punktu przecięcia przekątnych trapezu do jego ramienia. Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ d.}\) Aby obliczyć \(\displaystyle{ d}\) musimy znaleźć pole trójkąta bocznego.
\(\displaystyle{ P_{tr}= \frac{(2+8)h}{2} ,}\) gdzie \(\displaystyle{ h=2r, \ r}\) jest promieniem okręgu. Możemy je obliczyć przy pomocy twierdzenia Pitagorasa. \(\displaystyle{ r=2.}\) Zatem \(\displaystyle{ P_{tr}=20.}\)
Dalej \(\displaystyle{ P_{tr}=2P_{b}+P_{g}+P_{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ P_{b}}\) to pole trójkąta leżącego przy ramieniu trapezu, \(\displaystyle{ P_{g}, \ P_{d}}\) to odpowiednio pole trójkątów leżących przy górnej i dolnej podstawie. Jak pisałam trójkąty leżace przy górnej i dolnej podsatwie będą podobne. Skorzystaj z tego i wylicz wysokości tych trójkątów.
Dalej już z górki: Wyliczasz pola \(\displaystyle{ P_{g},\ P_{d}}\) i przy ich pomocy obliczasz \(\displaystyle{ P_{b}.}\) Mając \(\displaystyle{ P_{b}}\) znajdujesz \(\displaystyle{ d.}\)