Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Post autor: fidget »

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany jest w okrąg. Proste zawierające boki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Oblicz, ile razy bok \(\displaystyle{ AB}\) jest dłuższy niż bok \(\displaystyle{ CD}\), jeśli punkt \(\displaystyle{ B}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AK}\) i \(\displaystyle{ \frac{\left| DC\right| }{\left| CK\right| } = \frac{1}{8}}\)


Nie rozumiem tego twierdzenia.
Niby takie proste, a jednak w tym pierwszym zadaniu widzę wielką niewiadomą.
Ponieważ koła i czworokąty mogą być różne i wszelakie! A styczna nie zawsze jest taka sama dla każdej stycznej..
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Post autor: norwimaj »

Nie rozumiem Twoich wątpliwości, zwłaszcza ostatniego zdania.

Do rozwiązania wystarczy wykorzystać równość

\(\displaystyle{ |AK|\cdot|BK|=|DK|\cdot|CK|}\).
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Post autor: fidget »

Znam ten wzór ale go nie rozumiem.

Wykaż mi go.



I gdzie tu S się ma do obu jak się ma tylko do jednego?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Post autor: norwimaj »

Dowód powinien być w każdej książce od liceum, ale jeśli go nie ma to mogę coś napisać.

Najpierw rozważamy przypadek, ze styczną i sieczną. Niech punkty \(\displaystyle{ A,B,S}\) leżą na okręgu, \(\displaystyle{ SK}\) będzie styczną, oraz punkt \(\displaystyle{ K}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AB}\). Wtedy trójkąty \(\displaystyle{ ASK}\) i \(\displaystyle{ SBK}\) są podobne (cecha kkk), więc \(\displaystyle{ \frac{|AK|}{|SK|}=\frac{|SK|}{|BK|}}\), czyli \(\displaystyle{ |AK|\cdot|BK|=|SK|^2}\).

W przypadku, gdy są dwie sieczne (jak w zadaniu), wystarczy dorysować styczną \(\displaystyle{ SK}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) leży na okręgu. Wtedy \(\displaystyle{ |AK|\cdot|BK|=|SK|^2=|DK|\cdot|CK|}\).
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Tw o związkach miarowych między odcinkami stycznej i siecnej

Post autor: fidget »

Nie zauważyłem najprostszego.
Narysowałem sobie 2 rysunki.
Na pierwszym miałem tylko sieczną AB , a na drugim tylko CD.
I w obu wszystko się zgadza, więc czemuby tego nie móc połączyć?

Miałem zeza chyba
ale dzięki za pomoc!
ODPOWIEDZ