Wykazywanie, czworokąty i okręgi

[fidget]

Wykaż, że jeśli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

[aalmond]

Można wykazać, że te cztery punkty są wierzchołkami czworokąta, na którym opisany jest ten okrąg. Jaki warunek musi być spełniony, żeby na czworokącie można było opisać okrąg?

[fidget]

Naprzeciwległe kąty są równe i mają po 180 stopni.
Niestety nie wiem jak to udowodnić.

[norwimaj]

Oznacz kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) odpowiednio przez \(\displaystyle{ 2\alpha, 2\beta, 2\gamma}\) i \(\displaystyle{ 2\delta}\). Wtedy łatwo wyliczysz kąty otrzymanego czworokąta.

[aalmond]

Każdy z kątów tego czworokąta jest również kątem pewnego trójkąta, w którym dwa pozostałe kąty, to połowy kątów czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). Wrzuć rysunek. Będzie łatwiej wytłumaczyć.

[fidget]

Zrobiłem to inaczej.
1. Narysowałem przekątne tego czworościanu.
2. Podpisałem każdy kąt inną cyfrą - wyszło mi 10 kątów.
3. Opisałem wszystkie zależności, czyli np. 1 + 2 + (3+4) = 180stopni <- taki trójkącik
4. Napisałem, że opisać kółeczko można tylko wtedy, gdy naprzeciwległe kąty są sobie równe.
4. Mając wypisane wszystkie zależności popodstawiałem je pod twierdzenie i udowodniłem że strona lewa równa się stronie prawej
\(\displaystyle{ L = P}\)
5. Zamieniłem użyte przezemnie kąty na alfy, omegi, sigmy i inne greckie litery(\(\displaystyle{ \approx}\)) , aby zadanie było wykonane poprawnie także i pod względem zapisu.




EDIT://
Tak samo zrobiłem w tym zadaniu:
"Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg"

Jednak robiąc to tutaj ponownie, zastanawiam się... czy tak można? Czy robię to właściwie?
Oto skan drugiego zadania:



Dobry sposób?

[norwimaj]

Żadnych przekątnych nie rysuj, bo to utrudnia patrzenie na rysunek. Narysuj tylko czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i jego dwusieczne.

[fidget]

Czy mógłby ktoś ROZWIĄZAĆ to zadanie DO KOŃCA i pokazać to tutaj?
Korki mam dopiero za tydzień, a to staram się zrozumieć na samouka.
Nie pomogą mi podpowiedzi jak nawet tego nie przerabiałem.

POTRZEBUJĘ jednego (albo i więcej!!) gotowca, abym mógł cokolwiek zrozumieć.

[norwimaj]

No to niech będzie gotowiec:

1. Narysuj rysunek zgodnie z treścią zadania, tzn czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i dwusieczne jego kątów.
2. Oznacz w jakiś sposób kąty czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\).
3. Wylicz kąty pomiędzy dwusiecznymi, korzystając z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\).
4. Skoro już wyznaczyłeś kąty w otrzymanym czworokącie, to wykaż że para przeciwległych kątów sumuje się do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\). Możesz przy tym skorzystać z tego, że suma miar kątów czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równa \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\).

[fidget]

Zadziałało.

Ale czemu mój sposób był zły?

[norwimaj]

Nie zorientowałem się, że rysunek, który wkleiłeś, odnosi się do innego zadania. Przepraszam za zamieszanie.

[fidget]

Oba zadania zrobiłem tak samo.
W drugim nawet nie wiedziałem co mi te okręgi dają albo odbierają.
Przerysowałem czworokąt i sprawdzałem, czy da się na nim opisać koło.

I tak pomogłeś. : )


Ponaglę na wszelki wypadek pytanie:
Czemu mój sposób jest zły?

[norwimaj]

Przyznam że nie rozumiem, w jaki sposób dowodzisz, że \(\displaystyle{ L=P}\). Sprawdź, czy potrafisz w ten sposób udowodnić, że dowolny czworokąt da się wpisać w okrąg. Jeśli tak, to coś jest źle. Podejrzewam błąd logiczny (implikacja w złą stronę?).

[fidget]

A jak byś zrobił to 2 zadanie?
Walnąłbyś dwusieczne kąta?
A może jest jakaś własność tam potrzebna, której nie widzę, albo nie znam?

[norwimaj]

Narysowałbym styczne do okręgów w wierzchołkach czworokąta. Wtedy pewne kąty na rysunku są równe.