nierówność trójkąta - wykaż

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: fart411 »

1. Wykazać, wykorzystując nierówność trójkąta, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej poprowadzonej do trzeciego boku.

a,b,c - boki trójkąta
d- środkowa poprowadzona do boku c
i z nierówności trójkąta mogę otrzymać takie nierówności:
\(\displaystyle{ a + b > c}\)
\(\displaystyle{ a + \frac{c}{2} > d}\)
\(\displaystyle{ b + \frac{c}{2} > d}\)
ale co dalej z tym zrobić, by dojść do postaci, o którą proszą w zadaniu to nie mam pojęcia...

2. Wykazać, wykorzystując nierówność trójkąta, że jeżeli punkt P należy do wnętrza trójkąta ABC to \(\displaystyle{ \left| AC \right| + \left| BC \right| > \left| AP \right| + \left| BP \right|}\)
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: Inkwizytor »

fart411 pisze:1. Wykazać, wykorzystując nierówność trójkąta, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej poprowadzonej do trzeciego boku.
Wykonaj rysunek włącznie ze srodkową. Środkowa dzieli dany trójkąt na dwa inne trójkąty, ale te trójkąty nie są dowolne - mają pewna cechę wspólną
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: fart411 »

oprócz tego, że mają dwa boki równe to nie mogę się niczego doszukać
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: Inkwizytor »

fart411 pisze:oprócz tego, że mają dwa boki równe to nie mogę się niczego doszukać
Te dwa trójkąty mają też takie same pola (ale to tak poza konkursem )
fart411 pisze: \(\displaystyle{ a + b > c}\)
\(\displaystyle{ a + \frac{c}{2} > d}\)
\(\displaystyle{ b + \frac{c}{2} > d}\)
Z pierwszej nierówności wynika że: \(\displaystyle{ a+b > \frac{c}{2} + \frac{c}{2}}\)
Teraz mała modyfikacja: \(\displaystyle{ a+b > \frac{c}{2} + (a-a) + \frac{c}{2} + (b-b)}\)
stąd: \(\displaystyle{ a+b > (\frac{c}{2} + a) -a + (\frac{c}{2} + b) -b}\)
Podstawiamy drugą i trzecia nierówność: \(\displaystyle{ a+b > (\frac{c}{2} + a) -a + (\frac{c}{2} + b) -b > d-a +d-b}\)
Dalej już dasz radę -- 2 sty 2012, o 17:51 --Zadanie 2.

Połącz P z C i wykorzystaj \(\displaystyle{ |CP|}\) w rozważaniach. Masz 3 trójkąty o wspólnym wierzchołku P
fart411
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 135
Rejestracja: 5 lut 2011, o 09:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: xaswq
Podziękował: 60 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: fart411 »

Inkwizytor pisze: Podstawiamy drugą i trzecia nierówność: \(\displaystyle{ a+b > (\frac{c}{2} + a) -a + (\frac{c}{2} + b) -b > d-a +d-b}\)
no tak tylko z tej nierówności dojdę do postaci \(\displaystyle{ 2a+2b>2d}\)podzielę przez 2 i mam\(\displaystyle{ a + b > d}\), a mam wykazać przecież nierówność \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}>d}\)

czy czegoś nie zrozumiałem?
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: timon92 »

dopełnij do równoległoboku
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

nierówność trójkąta - wykaż

Post autor: Inkwizytor »

Mea culpa za mały skrawek papieru miałem pod ręką i nie sprawdziłem rachunków do końca. Tak jak napisał timon dopełnij do równoległoboku, traktując podwojoną środkową jako jego przekątną.
ODPOWIEDZ