Stosunek długości w trójkącie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
matematyk261
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 27 mar 2011, o 23:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Stosunek długości w trójkącie

Post autor: matematyk261 »

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono środkową \(\displaystyle{ CD}\). Wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) połączono odcinkiem ze środkiem \(\displaystyle{ E}\) środkowej \(\displaystyle{ CD}\) i przedłużono go aż do przecięcia w punkcie \(\displaystyle{ F}\) z bokiem \(\displaystyle{ CB}\). Oblicz stosunek \(\displaystyle{ |CF|:|FB|}\).
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Stosunek długości w trójkącie

Post autor: norwimaj »

Można ze środków mas:

\(\displaystyle{ E=\frac12C+\frac12D=\frac12C+\frac14A+\frac14B=\frac14A+\frac34\left(\frac23C+\frac13B\right)}\),

skąd widać, że \(\displaystyle{ F=\frac23C+\frac13B}\).
Mszak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 65
Rejestracja: 13 gru 2011, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 7 razy

Stosunek długości w trójkącie

Post autor: Mszak »

Umieszczamy w punktach \(\displaystyle{ A,B,C}\) odpowiedni masy \(\displaystyle{ 1,1,2}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ D}\) jest środkiem ciężkości punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), natomiast \(\displaystyle{ E}\) środkiem ciężkości \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\), a co za tym idzie całego trójkąta. Z drugiej strony \(\displaystyle{ F}\) jest środkiem ciężkości \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem ciężkości całego układu, więc łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ CF:FB = 1:2}\).



Ah, uprzedził mnie minimalnie. ;d
ODPOWIEDZ