Wiadomo, że liczba przekątnych jest równa liczbie boków w pewnym wielokącie wypukłym foremnym o boku długości \(\displaystyle{ a}\) i kącie między sąsiednimi bokami \(\displaystyle{ \alpha}\) :
A) wielokąt ten ma co najmniej 10 boków
B) wielokąt ten ma nie więcej niż 6 boków
C) długość jego przekątnej wynosi \(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \cdot a}\)
D) \(\displaystyle{ \cos( \frac{1}{3} \alpha )cos( \frac{2}{3} \alpha )= \frac{1}{4}}\) ???
jeśli wiemy przekątne to ?
jeśli wiemy przekątne to ?
wiem że n jest równe 5 ale z jakiego wzoru sprawdzić tą przekątną i ten punkt d?
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
jeśli wiemy przekątne to ?
skoro \(\displaystyle{ n=5}\) to \(\displaystyle{ \alpha = \frac{3}{5} \pi}\) albo \(\displaystyle{ 108^{\circ}}\) w mierze stopniowej.breti pisze:wiem że n jest równe 5 ale z jakiego wzoru sprawdzić tą przekątną i ten punkt d?
pokażę jak to obliczyć , tylko nie będę wstawiał symbolu stopni żeby było szybciej:
mamy ze wzorów:
1)\(\displaystyle{ \cos 54 +\cos 18=\sin 36 +\cos 18=2\sin 18 \cos 18+\cos 18}\)
2)\(\displaystyle{ \cos 54 +\cos 18=2\cos 36 \cos 18}\)
porównujemy prawe strony tych wzorów:
\(\displaystyle{ 2\sin 18 \cos 18+\cos 18=2\cos 36 \cos 18}\) dzielimy przez niezerowy \(\displaystyle{ \cos 18}\)
\(\displaystyle{ 2\sin 18 +1=2\cos 36}\)
\(\displaystyle{ 2\sin 18+1=2(1-2\sin^2 18)}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^2 18+2\sin 18-1=0}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\sin 18+ \frac{1}{2} \right) ^2= \frac{5}{4}}\) i wiemy że \(\displaystyle{ \sin 18 >0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin 18+ \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 18= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}}\) i możemy stąd wyliczyć
\(\displaystyle{ \cos 18= \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{5} } }{4}}\)
a mając te dwie wartości policzysz resztę.