Miejsce przecięcia okręgu i odcinka w układzie współrzędnych

Kedor · Post autor: **Kedor** » 27 gru 2011, o 20:44

Witam. Mam problem jak na zdjęciu:

: AU; lfXmj.jpg (1.31 KiB) Przejrzano 418 razy

Problem polega na tym, że mam współrzędne punktu startowego, punktu końcowego, oraz przeszkodę a muszę obliczyć jaka długość linii przechodzi przez przeszkodę. Potrzebuję tego aby móc "oceniać" odcinki. Czym więcej przebiega przez przeszkodę, tym mniejszą ocenę dostanie, bo jak widać może przebiegać przez środek, przez część przeszkody, albo całkowicie obok.

Nie mam konkretnego zadania, ponieważ potrzebuje rozwiązać tenże problem na informatycznym przedmiocie, ale nie wiem jak do tego się zabrać. Jakieś wzory, pomysły, sugestie?

void_t · Post autor: **void_t** » 27 gru 2011, o 20:49

A masz do dyspozycji równanie przeszkody? W tym wypadku równanie okręgu/koła?

Kedor · Post autor: **Kedor** » 27 gru 2011, o 21:08

Przeszkodę (musi być koło) mogę sobie dobrać.
Tak więc znam współrzędne środka, oraz promień. Nie za bardzo wiem co masz na myśli pisząc równanie koła.

Na Wikipedii można przeczytać:

Koło w kartezjańskim układzie współrzędnych jest opisane wzorem:

AU

cda5793efb0545bd353db36fabce7d0a.png (983 Bajtów) Przejrzano 418 razy

gdzie

AU

fe905a9f68f4f9c29b1100dc5098ef4f.png (316 Bajtów) Przejrzano 418 razy

- promień koła,

AU

13f94bba77445bb5c1b1006bd8bb177c.png (494 Bajtów) Przejrzano 418 razy

- współrzędne środka koła.

Tak więc mam promień, mam \(\displaystyle{ x_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ y_{0}}\). Natomiast nie wiem co oznaczają x oraz y, ale nadal wiele mi to nie mówi.

aalmond · Post autor: **aalmond** » 27 gru 2011, o 21:10

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt startowy i końcowy
2. Z układu równań wyznacz punkty przecięcia prostej z okręgiem
3. Oblicz długość odcinka łączącego te punkty

Inny sposób, to znalezienie odległości środka okręgu od prostej przechodzącej przez punkt startowy i końcowy

Kedor · Post autor: **Kedor** » 27 gru 2011, o 23:29

aalmond pisze:2. Z układu równań wyznacz punkty przecięcia prostej z okręgiem

Hmm... Ale z tym wyznaczeniem to nie tak łatwo. Rozumiem, że masz na myśli wyczytaj z układu współrzędnych? A co jeśli potrzebuję jak najdokładniejszych wyników, a nie na oko? Druga sprawa, jak już pisałem, jest to zadanie informatyczne, będzie to się działo w programie, i muszę wszystko robić na wzorach, mają współrzędne, więc nie mogę "wyczytać".

Wciąż szukam rozwiązania. Pomysł z odległością od środka jak najbardziej jest dobry, bo wtedy policzenie długości cięciwy to nie problem, ale jak wyznaczyć tą odległość od środka nie mając punktów przecięcia z okręgiem, ani kątów w takimże trójkącie?

Na anglojęzycznym forum dostałem odpowiedź następującą:

Używając równań na (wiki anglojęzyczna) oraz z równania na znajdź punkty przecięcia linii z okręgiem. Jeśli znajdziesz 2 punkty, skorzystaj z [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Distance#Geometry]równania[/url] w celu obliczenia długości.

Tylko że nie wiem jak takimi wzorami się posłużyć. Są one dla mnie za ogólne. Może podsunie wam to pomysł, i ktoś by mi to rozjaśnił?

aalmond · Post autor: **aalmond** » 27 gru 2011, o 23:34

Rozumiem, że masz na myśli wyczytaj z układu współrzędnych?

Nie. Tego nie powiedziałem.

A co jeśli potrzebuję jak najdokładniejszych wyników, a nie na oko?

Wszystko można wyliczyć.

Równanie prostej:

\(\displaystyle{ \frac{y_k - y_p}{x_k - x_p} \cdot x - y - \frac{y_k - y_p}{x_k - x_p} \cdot x_p +y_p = 0}\)

Odległość środka okręgu od prostej:

\(\displaystyle{ D = \frac{ \left | \frac{y_k - y_p}{x_k - x_p} \cdot x_s - y_s - \frac{y_k - y_p}{x_k - x_p} \cdot x_p +y_p \right |}{ \sqrt{ \left ( \frac{y_k - y_p}{x_k - x_p \right )^{2} + 1}} }}\)

Szukana długość odcinka \(\displaystyle{ ( D \le r)}\):

\(\displaystyle{ C = 2 \cdot \sqrt{r^2 - D^2}}\)

\(\displaystyle{ x_p}\), \(\displaystyle{ y_p}\) - współrzędne punktu startowego
\(\displaystyle{ x_k}\), \(\displaystyle{ y_k}\) - współrzędne punktu końcowego
\(\displaystyle{ x_s}\), \(\displaystyle{ y_s}\) - współrzędne środka okręgu
\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu
\(\displaystyle{ D}\) - odległość środka okręgu od prostej
\(\displaystyle{ C}\) - szukana długość odcinka

Kedor · Post autor: **Kedor** » 28 gru 2011, o 15:38

Dziękuję, to już coś. Super to opisałeś. Jeszcze raz dzięki.

Dziękuję! Właśnie "wprowadziłem ten wzór w życie" i wyniki są zdumiewające. Nigdy bym się nie spodziewał, że tak można to liczyć. Oczywiście "pomógł" wciśnięte. Nie wiem co więcej mogę dla ciebie zrobić w ramach odwdzięczenia.

-- 28 grudnia 2011, 21:27 --

No tak, głupi cieszy się za wcześnie. Bah, moja wina. Ty jako matematyk zrozumiałeś co napisałem a nie co miałem na myśli. To wszystko się zgadza, ale to jest dla linii. Kurdę, a mi zależało na odcinku, bo jeśli odcinek kończy się przed przeszkodą, to nie powinno liczyć odległości od środka.
Prosty przykład:

Tutaj, wynik zwróci mi, że dana "Droga" przebiega przez przeszkodę, ponieważ, zmyliłem Cię pisząc że chodzi o linie. Rozumiem że to byłby całkowicie inny przypadek? :/

Próbuję na męski rozum dorzucić jakieś warunki, że jeśli oba "x" znajdują się po jednej stronie od środka, to nie przechodzi przez przeszkodę, ale co jeśli punkt znajduje się wewnątrz przeszkody?
Kurde, mój błąd. Masz jeszcze cierpliwość, i chęć, aby powiedzieć mi, o ile to możliwe, co w takiej sytuacji zrobić?