Odległości punku przecięcia przekątnych trapezu od jegoBoków

[fidget]

Zadanie maturalne z gwiazdką:
W trapez równoramienny o obwodzie \(\displaystyle{ 20}\) i przekątnej długości \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) można wpisać okrąg. Oblicz odległości punku przecięcia przekątnych tego trapezu od prostych zawierających jego boki.



Obliczenia w których obliczyłem dane trapezu zawarte na rysunku są zbyt łatwe i oczywiste.
1) Nie wiem czy dobrze zrozumiałem zadanie:
Szukane to \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\)

oraz \(\displaystyle{ \frac{z}{przez co?}}\)

2) Nie potrafię obliczyć nawet tego \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\)
Proszę o pomoc.
Dziękuję! : )

[Tmkk]

Trzeba skorzystać z podobienstwa. Jeżeli nie widzisz, ktore trójkąty są podobne, zrób lepszy rysunek, z oznaczeniami, wtedy bedzie mi łatwiej pomóc.

[chris_f]

Z podobieństwa trójkątów masz, że
\(\displaystyle{ \frac{4}{5}=\frac{y}{4}}\)
skąd \(\displaystyle{ y=\frac{16}{5}}\) no i \(\displaystyle{ x=\frac45}\)
Mając to obliczysz pola trójkątów przy podstawach i odejmując od pola całego trapezu dostaniesz pola trójkątów "bocznych". One są przystające, więc liczysz pole jednego, podstawą będzie \(\displaystyle{ 5}\) wysokością szukane \(\displaystyle{ z}\) i już.

[fidget]

Mógłbyś mi jakoś to zobrazować?

[chris_f]

Nie bardzo rozumiem co mam tu obrazować, przecież Twój rysunek jest wystarczający.
Do podobieństwa bierzesz trójkąt prostokątny z lewego górnego wierzchołka, potem wysokość i fragment podstawy do prawego dolnego wierzchołka i drugi trójkąt, z punktu przecięcia się przekątnych w dół (Twoje \(\displaystyle{ y}\)) i w prawo do wierzchołka. Oba są prostokątne, mają wspólny kąt, zatem są podobne i stąd ten stosunek w moim poście.
Jak wyliczyliśmy \(\displaystyle{ x\ {\rm i}\ y}\) to obliczamy pole trójkąta opartego o dolną podstawę i o wysokości \(\displaystyle{ y}\), podobnie pole górnego trójkąta, którego podstawą jest górna podstawa trapezu, a wysokość to \(\displaystyle{ x}\).
Odejmujemy sumę tych pół od pola całego trapezu (to pole obliczamy z łatwością, bo mamy wszystkie potrzebne wymiary) i zostanie nam obszar złożony z dwóch trójkątów przystających, których podstawami są ramiona trapezu, a wysokościami szukany odcinek \(\displaystyle{ z}\).

[fidget]

Ale tam nie ma \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\)

tylko \(\displaystyle{ \frac{x}{1}}\)

[chris_f]

Nie wiem jak Ci to prościej wytłumaczyć

[fidget]

Ok.
Nie rozumiem jeszcze tylko jak obliczyć odległość przecięcia się przekątnych od ścian bocznych.

[chris_f]

Szukana odległość (oznaczyłeś ją przez \(\displaystyle{ z}\)) jest wysokością tego trójkąta "bocznego", którego podstawą jest ramię trapezu. Pole tego trójkąta policzysz tak jak wyżej napisałem, a skoro masz pole trójkąta i jego podstawę, to chyba wysokość policzysz.