Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym

[fidget]

Zadanie maturalne z gwiazdką:
Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy \(\displaystyle{ 16}\), a przekątna trapezu ma długość \(\displaystyle{ 5}\).
Oblicz długości promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.



\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+2c=16 \\ a+b=2c \end{cases} \\ \\
\begin{cases} 2\left( a+b\right) = 16 \\ a+b=2c \end{cases} \\ \\
\begin{cases} a+b=8 \\ 2c=8 \end{cases} \\ \\
\begin{cases} a+b=8 \\ c=4 \end{cases} \\ \\
\\
h=2r \\
4^{2} +h^{2} = 5^{2} \\
16+h^{2}=25 \\
h^{2}=9 \\
h=3 \\
r=1,5 \\
\\
x^{2}+3^{2}=4^{2} \\
x^{2}+9=16 \\
x^{2}=7 \\
x= \sqrt{7}}\)



Prośba:
Jak wyliczyć \(\displaystyle{ R}\)?
Coś tam próbowałem i wyszedł mi wynik: \(\displaystyle{ 3 \sqrt{6}}\)
Niestety poprawny wynik to \(\displaystyle{ \frac{10}{3}}\)
Proszę o pomoc.
Dziękuję! : )

[chris_f]

Dlaczego, dosyć łatwo to wychodzi. Przy Twoich oznaczeniach, mamy:
\(\displaystyle{ |AE|=\frac{4+\sqrt{7}}{2},\ |DG|=\frac{4-\sqrt{7}}{2},\ {\rm oznaczmy}\ |EI|=x,\ {\rm wtedy}\ |IG|=3-x}\)
I dwa razy Pitagoras
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3-x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
Wykonujemy działania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\frac{16+8\sqrt{7}+7}{4}+x^2=R^2\\
\frac{16-8\sqrt{7}+7}{4}+9-6x+x^2=R^2\end{array}\right.}\)
Teraz np. pierwsze równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ -1}\) dodajemy do drugiego
\(\displaystyle{ -4\sqrt{7}+9-6x=0}\)
\(\displaystyle{ 6x=9-4\sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{9-4\sqrt{7}}{6}}\)
czyli WIELKIE ROZCZAROWANIE bo wynik wyszedł ujemny. Wszystko wzięło się stąd, że milcząco założyłeś, że środek tego okręgu leży wewnątrz trapezu. W rzeczywistości leży on poza trapezem - na rysunku musisz punkt \(\displaystyle{ I}\) "obniżyć" pod dolną podstawę, sam trapez będzie bardziej spłaszczony.
Wtedy nic specjalnie się nie zmienia, tyle, że tutaj przez \(\displaystyle{ x}\) oznaczaliśmy odległość środka powyżej dolnej podstawy, teraz ten \(\displaystyle{ x}\) będzie odległością od dolnej podstawy w dół. Spowoduje to zmianę układu równań, na następujący
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3+x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
zmienił się jedynie znak w wyrażeniu \(\displaystyle{ (3-x)^2}\) na \(\displaystyle{ (3+x)^2}\)
Dalej liczysz tak samo, wyjdzie \(\displaystyle{ x}\), no i wyliczasz \(\displaystyle{ R}\)

[fidget]

A skąd mam wiedzieć gdzie jest środek okręgu?

[chris_f]

Z góry tego nie wiesz, dlatego należy rozpatrzeć możliwe przypadki, pierwszy, gdy jest w środku trapezu rozrysowałeś, ale okazało się, że to jest niemożliwe, drugi, gdyby leżał na dolnej podstawie to wtedy natychmiast mamy, że to niemożliwe i wreszcie ten trzeci, który da nam dobre rozwiązanie.

[fidget]

Czyli licząc to rozpatruję pisemnie 3 przypadki?
Jak rozpisać 2, gdzie środek okręgu jest na podstawie?
Dlaczego natychmiast mamy, że jest to niemożliwe?

[chris_f]

Gdyby leżał na tej podstawie to \(\displaystyle{ R=\frac{4+\sqrt{7}}{2}}\) i z Pitagorasa mielibyśmy \(\displaystyle{ 3^2+\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2=\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2}\) co raczej możliwe nie jest.