Zadanie maturalne z gwiazdką:
Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu jest równy \(\displaystyle{ 16}\), a przekątna trapezu ma długość \(\displaystyle{ 5}\).
Oblicz długości promienia okręgu wpisanego w ten trapez i promienia okręgu opisanego na nim.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+2c=16 \\ a+b=2c \end{cases} \\ \\
\begin{cases} 2\left( a+b\right) = 16 \\ a+b=2c \end{cases} \\ \\
\begin{cases} a+b=8 \\ 2c=8 \end{cases} \\ \\
\begin{cases} a+b=8 \\ c=4 \end{cases} \\ \\
\\
h=2r \\
4^{2} +h^{2} = 5^{2} \\
16+h^{2}=25 \\
h^{2}=9 \\
h=3 \\
r=1,5 \\
\\
x^{2}+3^{2}=4^{2} \\
x^{2}+9=16 \\
x^{2}=7 \\
x= \sqrt{7}}\)
Prośba:
Jak wyliczyć \(\displaystyle{ R}\)?
Coś tam próbowałem i wyszedł mi wynik: \(\displaystyle{ 3 \sqrt{6}}\)
Niestety poprawny wynik to \(\displaystyle{ \frac{10}{3}}\)
Proszę o pomoc.
Dziękuję! : )
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
Dlaczego, dosyć łatwo to wychodzi. Przy Twoich oznaczeniach, mamy:
\(\displaystyle{ |AE|=\frac{4+\sqrt{7}}{2},\ |DG|=\frac{4-\sqrt{7}}{2},\ {\rm oznaczmy}\ |EI|=x,\ {\rm wtedy}\ |IG|=3-x}\)
I dwa razy Pitagoras
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3-x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
Wykonujemy działania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\frac{16+8\sqrt{7}+7}{4}+x^2=R^2\\
\frac{16-8\sqrt{7}+7}{4}+9-6x+x^2=R^2\end{array}\right.}\)
Teraz np. pierwsze równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ -1}\) dodajemy do drugiego
\(\displaystyle{ -4\sqrt{7}+9-6x=0}\)
\(\displaystyle{ 6x=9-4\sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{9-4\sqrt{7}}{6}}\)
czyli WIELKIE ROZCZAROWANIE bo wynik wyszedł ujemny. Wszystko wzięło się stąd, że milcząco założyłeś, że środek tego okręgu leży wewnątrz trapezu. W rzeczywistości leży on poza trapezem - na rysunku musisz punkt \(\displaystyle{ I}\) "obniżyć" pod dolną podstawę, sam trapez będzie bardziej spłaszczony.
Wtedy nic specjalnie się nie zmienia, tyle, że tutaj przez \(\displaystyle{ x}\) oznaczaliśmy odległość środka powyżej dolnej podstawy, teraz ten \(\displaystyle{ x}\) będzie odległością od dolnej podstawy w dół. Spowoduje to zmianę układu równań, na następujący
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3+x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
zmienił się jedynie znak w wyrażeniu \(\displaystyle{ (3-x)^2}\) na \(\displaystyle{ (3+x)^2}\)
Dalej liczysz tak samo, wyjdzie \(\displaystyle{ x}\), no i wyliczasz \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ |AE|=\frac{4+\sqrt{7}}{2},\ |DG|=\frac{4-\sqrt{7}}{2},\ {\rm oznaczmy}\ |EI|=x,\ {\rm wtedy}\ |IG|=3-x}\)
I dwa razy Pitagoras
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3-x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
Wykonujemy działania
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\frac{16+8\sqrt{7}+7}{4}+x^2=R^2\\
\frac{16-8\sqrt{7}+7}{4}+9-6x+x^2=R^2\end{array}\right.}\)
Teraz np. pierwsze równanie pomnożone przez \(\displaystyle{ -1}\) dodajemy do drugiego
\(\displaystyle{ -4\sqrt{7}+9-6x=0}\)
\(\displaystyle{ 6x=9-4\sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{9-4\sqrt{7}}{6}}\)
czyli WIELKIE ROZCZAROWANIE bo wynik wyszedł ujemny. Wszystko wzięło się stąd, że milcząco założyłeś, że środek tego okręgu leży wewnątrz trapezu. W rzeczywistości leży on poza trapezem - na rysunku musisz punkt \(\displaystyle{ I}\) "obniżyć" pod dolną podstawę, sam trapez będzie bardziej spłaszczony.
Wtedy nic specjalnie się nie zmienia, tyle, że tutaj przez \(\displaystyle{ x}\) oznaczaliśmy odległość środka powyżej dolnej podstawy, teraz ten \(\displaystyle{ x}\) będzie odległością od dolnej podstawy w dół. Spowoduje to zmianę układu równań, na następujący
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2+x^2=R^2\\
\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2+(3+x)^2=R^2\end{array}\right.}\)
zmienił się jedynie znak w wyrażeniu \(\displaystyle{ (3-x)^2}\) na \(\displaystyle{ (3+x)^2}\)
Dalej liczysz tak samo, wyjdzie \(\displaystyle{ x}\), no i wyliczasz \(\displaystyle{ R}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
Z góry tego nie wiesz, dlatego należy rozpatrzeć możliwe przypadki, pierwszy, gdy jest w środku trapezu rozrysowałeś, ale okazało się, że to jest niemożliwe, drugi, gdyby leżał na dolnej podstawie to wtedy natychmiast mamy, że to niemożliwe i wreszcie ten trzeci, który da nam dobre rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 221
- Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dev/null
- Podziękował: 65 razy
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
Czyli licząc to rozpatruję pisemnie 3 przypadki?
Jak rozpisać 2, gdzie środek okręgu jest na podstawie?
Dlaczego natychmiast mamy, że jest to niemożliwe?
Jak rozpisać 2, gdzie środek okręgu jest na podstawie?
Dlaczego natychmiast mamy, że jest to niemożliwe?
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Promień okręgu opisanego na trapezie równoramiennym
Gdyby leżał na tej podstawie to \(\displaystyle{ R=\frac{4+\sqrt{7}}{2}}\) i z Pitagorasa mielibyśmy \(\displaystyle{ 3^2+\left(\frac{4-\sqrt{7}}{2}\right)^2=\left(\frac{4+\sqrt{7}}{2}\right)^2}\) co raczej możliwe nie jest.