Środek ciężkości trapezu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
djjokers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 17 lut 2009, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 6 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: djjokers »

Witam,
próbowałem znaleźć wzór na środek ciężkości trapezu ponieważ muszę wyznaczyć wypadkową na takim wykresie trapezowym:


Zastanawiałem się czy można wyznaczyć graficznie środek ciężkości np.
dzieląc ten wykres na prostokąt i trójkąt prostokątny wyznaczyć graficznie środki ciężkości i odległość między tymi środkami ciężkości podzielić na 2 i dodać do tej niższej wysokości ? Czy to będzie poprawnym wyznaczeniem ?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: norwimaj »

djjokers pisze:i odległość między tymi środkami ciężkości podzielić na 2
Środek ciężkości będzie leżał na odcinku łączącym środki ciężkości tych mniejszych figur, ale niekoniecznie w połowie. Środek ciężkości trapezu dzieli ten odcinek w stosunku równym ilorazowi pól figur, na które podzieliłeś trapez.
djjokers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 17 lut 2009, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 6 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: djjokers »

Jeżeli :
Pole prostokąta = \(\displaystyle{ Pp=1,005m^2}\)
Pole trójkąta = \(\displaystyle{ Pt=0,614m^2}\)
stosunek \(\displaystyle{ \frac{Pt}{Pp} = 0,611-> 61,1%}\)
a odcinek \(\displaystyle{ St-Sp=0,6573m-> 0,6573*61,1%=0,402}\)
odmierzając ta długość od środka ciężkości trójkąta otrzymałem wartość
\(\displaystyle{ h=0,653}\)

chyba że jest jakiś wzór żeby to obliczyć innym sposobem ?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: kruszewski »

Czy problem polega na określeniu odciętej środka ciężkości tego konkretnego trapezu, czy dla trapezów prostokątnych? Określenie "wzór na ..." sugeruje ogólność.
Czy istnieje inny sposób określenia współrzędnych środka trapezu? Tak, istnieje. Można by powiedzieć nawet "ogólny" a dla prostokątnych dość miły dla oka.
Jak potrzeba zapodam z rysuneczkiem.
W.Kr.
djjokers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 17 lut 2009, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 6 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: djjokers »

Był bym wdzięczny ponieważ potrzebuje to do obliczenia wypadkowej dla tego trapezu
Głownie to ten wykres wygląda tak a ja musze wiedzieć na jakies wysokośći h znajduje się wypadkowa tej siły.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: kruszewski »

Akurat mam szkic :
dla innej współrzędnej , ale sposób znajdowania położenia wypadkowej jest taki sam .
Dla przypadku i oznaczeniach jak na szkicu to
\(\displaystyle{ x \cdot (a \cdot h + \frac{b \cdot h}{2} ) = \frac{a}{2} \cdot ah + \frac{bh}{2} \cdot (a+ \frac{b}{3} )}\)
Dobrze się redukuje i upraszcza.
Typowe równanie równowagi momentów.
Rozwiązując względem \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy szukaną odległość .
Pytanie jest takie, jak daleko od lewego naroża trapezu należy go podeprzeć "siłą" równą jego "ciężarowi".
Myślę, że poradzi sobie Kolega z problemem obracając "interes" o kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\).
Podpowiem, ze dla poszukiwanej przez Kolegę odległości \(\displaystyle{ h}\) najlepiej obrócić trapez zgodniezegarowo , w prawo, o kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)
W.Kr.
djjokers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 17 lut 2009, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 6 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: djjokers »

Czy można to graficznie wyznaczyć ?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: kruszewski »

Oczywista. Trzeba przyjąc jednostkową gęstość powierzchni i w środkach ciężkości prostokąta i trójkąta zaczepić równoległe wektory reprezentujące masy tych figur. A następnie skorzystać z graficznego- wykreślnego- geometrycznego ( różne to różni nazywają) sposobu znajdowania wypadkowej dwu sił równoległych.
W.Kr.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: norwimaj »

Tak, można skonstruować ten punkt. Po pierwsze wiesz już, że środek ciężkości trapezu leży na odcinku łączącym środek ciężkości trójkąta i prostokąta. Po drugie, można zauważyć, że środek ciężkości leży na odcinku łączącym środki podstaw. Zatem środek ciężkości jest punktem przecięcia tych dwóch odcinków.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Środek ciężkości trapezu

Post autor: kruszewski »

Podoba mi się ten sposób bo można posłużyć się tylko cyrklem i liniałem nie szukając pól prostokąta i trójkąta.
W.Kr.
ODPOWIEDZ