czworokat wypukly nierownosc

[pitgot]

Dany jest czworokąt wypukły, którego każdy bok ma długość mniejszą od 20. Wykazać, że dla dowolnego punktu O należącego do jego wnętrza istnieje wierzchołek A tego czworokąta, taki że |OA|<15.

[mostostalek]

Zauważ, że największą taką odległość można uzyskać wtedy kiedy ten punkt leży na środku przekątnej czworoboku.. Poza tym.. zwiększając jedną przekątną zmniejszamy drugą.. Czyli najlepiej kiedy te przekątne są równe.. Największą odległość można zatem otrzymać wtedy kiedy O będzie leżało w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu o boku długości <20..
czyli ta odległość to maksymalnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{800}=10\sqrt{2}}\)

poza tym.. co to zadanie ma wspólnego z teorią liczb??

[pitgot]

dzięki a można zrobić to jeszcze w jakiś inny sposób ?

[mostostalek]

zapewne jest jeszcze wiele takich sposobów.. można by spróbować funkcję wyznaczającą pole tego czworokąta i na tej podstawie wyznaczyć funkcję długości jego przekątnych.. potem już tylko pochodna i wyznaczanie maksimum najkrótszej przekątnej.. ale w liceum chyba teraz nie ma pochodnych??

[pitgot]

ja osobiście nie miałem pochodnych Natomiast coś słyszałem że można to zadanie zrobić z twierdzenia cosinusów. Czy mógłbyś nad tym sposobem jeszcze pomyśleć?

[mostostalek]

w zależności od kąta między bokami długość przekątnej \(\displaystyle{ d_1^2=2a^2-a^2\cos \alpha}\)
stąd \(\displaystyle{ d_1=\sqrt{2a^2-a^2\cos \alpha}}\)
oczywiście wtedy, ze względu na to, że czworokąt jest rombem:
\(\displaystyle{ d_2=\sqrt{2a^2-a^2\cos (\pi - \alpha)}=\sqrt{2a^2+a^2\cos{\alpha}}}\)

Zauważmy dalej, że długość jednej przekątnej rośnie, gdy drugiej maleje.. Oczywiście najlepszą sytuację będziemy mieli kiedy przekątne będą równe - wtedy \(\displaystyle{ \cos \alpha=0}\)..
Natomiast \(\displaystyle{ d_1=d_2=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}}\)

Długość połowy przekątnej wtedy to \(\displaystyle{ \frac{a}{2}\sqrt{2}}\)
wychodzi dokładnie to samo..

[pitgot]

ok dzięki