Prostokąt wpisany w trójkąt

[dzmateusz]

Zadanie : w trójkąt o podstawie 10 i wysokości 6 wpisano prostokąt tak , że jeden z jego boków zawiera się w podstawie. Oblicz maksymalne pole prostokąta. ( nie wiemy czy trójkąt jest np. równoramienny) Wskazówki : bok a \(\displaystyle{ a\in [0,10]}\) i bok b \(\displaystyle{ b\in [0,6]}\) .
Proszę o wytłumaczenie zadania . Z góry dziękuje za pomoc

[mat_61]

Wskazówka:

Zrób sobie rysunek:

Trójkąt ABC
Prostokąt DEFG (DE zawiera się w podstawie AB)

Z podobieństwa trójkątów ABC oraz GFC (wiesz dlaczego są podobne?) możesz napisać proporcję:

\(\displaystyle{ \frac{a}{6-b} = \frac{10}{6} \Rightarrow b=...}\)

Teraz tak wyliczoną wartość b wstaw do wzoru na pole prostokąta i znajdź maksymalną wartość funkcji:

\(\displaystyle{ P(a)=...}\)

[dzmateusz]

a pomógł by mi ktos to obliczyć i objaśnić bo to jest zadanko do zrobienia

[mat_61]

Właśnie ta wskazówka, to pomoc do rozwiązania zadania. Jeżeli czegoś nie rozumiesz to zadaj konkretne pytanie.

a) zrobiłeś rysunek?
b) wiesz dlaczego te trójkąty są podobne?
c) potrafisz z podanej proporcji wyznaczyć \(\displaystyle{ b}\)?
d) znasz wzór na pole prostokąta?
e) potrafisz wyznaczyć największa wartość otrzymanej funkcji?

[dzmateusz]

znam wzór tylko na pole prostokąta nic więcej jak sobie cos policzyłem to wyszedł mi wynik jeden bok 3 a drugi 1 to bzdury więc jak mozesz to napisz mi jak to powinno wyglądać

[mat_61]

Gotowców z zasady nie piszę.

Czy przeanalizowałeś podane wskazówki? Znasz odpowiedzi na kolejne pytania (przynajmniej niektóre z nich)?

Jeżeli z tego co napisałeś mam rozumieć, że nie wiesz kiedy trójkąty są podobne, nie potrafisz z podanej równości wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ b}\) oraz podstawić jej do wzoru na pole prostokąta itd. to niestety nie potrafię Ci pomóc.

[dzmateusz]

rysunek sobie zrobiłem i wyszły mi dwa małe trójkąciki i jeden większy trójkąt abc i gfc podobny jest do siebie bo mają tę same miare kątów a napisał byś mi jak wychodzi ta proporcja b= i bym sobie wyliczył

[mat_61]

Kolejno:

\(\displaystyle{ 6a=60-10b \\
10b=60-6a \\
b=...}\)

Oczywiście przedziały dla wartości \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) które napisałeś w pierwszym poście muszą być otwarte (na krańcach przedziałów miałbyś nie prostokąt ale odcinek, bo długość któregoś z boków byłaby równa zero).

[dzmateusz]

mogłbym ci wysłać przez fotosika fotki z obliczniami ? bo juz mniej wiecej wyliczyłem i mozliwe jest zeby jeden bok maił 3 a drugi 9 jak myslisz???

[mat_61]

Pomagam tylko bezpośrednio na forum.

Skoro nie widzę Twoich obliczeń to jak mogę je skomentować? Napisz swoje rozwiązanie, to wtedy będzie można coś powiedzieć. Sam wynik nie jest poprawny. Poza tym w zadaniu masz obliczyć maksymalne pole prostokąta.

Na początek wyznacz \(\displaystyle{ b}\) z podanego przeze mnie powyżej równania.

[dzmateusz]

\(\displaystyle{ \ b =6- \frac{6}{10}a \a}\)

[mat_61]

Teraz wstaw tą wartość do wzoru na pole prostokąta:

\(\displaystyle{ P=a \cdot b}\)

W ten sposób otrzymasz funkcję zmiennej a

\(\displaystyle{ P(a)=...}\)

[dzmateusz]

\(\displaystyle{ P(a)= \ a \cdot b =6- \frac{6}{10}a \cdot a \a a}\) dobrze ?

[mat_61]

Nie.

To po ostatnim znaku \(\displaystyle{ =}\) to przecież wartość \(\displaystyle{ b}\), a gdzie masz wykonane mnożenie przez \(\displaystyle{ a}\) (chyba, że coś źle napisałeś w LATEX-ie)?

W LATEX-ie mnożenie to nie x, tylko cdot

-- 7 gru 2011, o 22:16 --

Po edycji skorzystaj z przycisku "podgląd" i sprawdź czy to wygląda tak jak chciałeś.

-- 7 gru 2011, o 22:34 --

Zapomniałeś o nawiasie (a to jest duża różnica). Powinno być:

\(\displaystyle{ P(a)= \ a \cdot b =\left( 6- \frac{6}{10}a\right) \cdot a}\)

Teraz wymnóż to i uporządkuj. Otrzymasz funkcję kwadratową.
Ta funkcja kwadratowa (a dokładnie jej fragment dla \(\displaystyle{ a \in (0,10)}\)) to pole tego prostokąta. Pozostaje wyznaczenie dla jakiej wartości \(\displaystyle{ a}\) w tym przedziale funkcja ta ma największą wartość.