Dowód, że podane prostokąty są kwadratami.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 21:28

Witam. Mam takie zadanie: Prostokąt o bokach długości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) jest podobny do prostokąta o bokach długości \(\displaystyle{ a+5}\), \(\displaystyle{ b+5}\) . Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.
Czy mogę wyjść z takiej proporcji (?):

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{a+5}{b+5}}\)

Po przekształceniach oczywiście wychodzi, że \(\displaystyle{ a = b}\), ale moje pytanie odnosi się właśnie do poprawności merytorycznej początkowej proporcji.
Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 21:51

Musisz rozważyć dwie proporcje: \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{a+5}{b+5}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{b+5}{a+5}}\).

Poczytaj jeszcze tutaj: 273391,25.htm

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 21:57

Czyli rozumiem, że ta pierwsza proporcja jest właściwa, tak? Dalszą część zadania rozumiem, że muszę rozpatrzyć drugi przypadek, bo w kwadracie nie powinno mieć znaczenia który bok do którego przyrównuję, tak?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 21:59

W zadaniu nie jest napisane, że to kwadrat. Musisz to dopiero udowodnić, więc musisz rozwiązać dwie proporcje.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 22:01

Ale teraz jak tak zacząłem rozwiązywać, to co mam zrobić, kiedy mam:

\(\displaystyle{ a^2+5a = b^2 + 5b}\)

Co powinienem z tym dalej zrobić?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 22:04

Dąż do iloczynu.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 22:06

Do jakiego konkretnie? Nie wiem chyba co masz na myśli.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 22:12

Próbuj, bo ciężko nie jest.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 22:20

\(\displaystyle{ a^2-b^2 = 5(b-a)}\)

Nie mam za bardzo pomysłu co innego można by tu dać.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 22:29

\(\displaystyle{ 5(b-a)=-5(a-b)}\)

Jak teraz nie zauważysz to trudno.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 26 lis 2011, o 22:36

Teraz widzę, że jest to równe po wymnożeniu, tylko co się stało z \(\displaystyle{ a^2}\) i \(\displaystyle{ b^2}\)?

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 26 lis 2011, o 22:38

\(\displaystyle{ a^2-b^2 = -5(a-b)}\)

Ehhh...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 26 lis 2011, o 23:03

dawid.barracuda pisze: \(\displaystyle{ a^2+5a = b^2 + 5b}\)

Co powinienem z tym dalej zrobić?

Ja bym w tym momencie skorzystał z tego, że funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^2+5x}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), więc w szczególności jest różnowartościowa.

Marcinek665 · Post autor: **Marcinek665** » 26 lis 2011, o 23:27

Lub:

\(\displaystyle{ a^2+5a = b^2 + 5b \Leftrightarrow (a-b)(a+b+5)=0}\)

Drugi nawias jest w oczywisty sposób dodatni, więc musi być \(\displaystyle{ a=b}\).