Twierdzenie dot. środków i osi symetrii

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 23 lis 2011, o 17:32

Cześć, czy poprawne jest twierdzenie, że:

"Wielokąt ma środek symetrii wtedy i tylko wtedy, gdy ma parzystą liczbę osi symetrii" ?

A jeśli tak to jak to udowodnić? Będę wdzięczna za jakiś dowód na takim poziomie, żeby licealistka zrozumiała A jeśli nie to jakiś link, podanie sposobu na udowodnienie tego, czy coś...

Pozdrawiam.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 23 lis 2011, o 20:16

Twierdzenie nie jest prawdziwe, bo są wielokąty, które nie mają żadnych osi symetrii i nie mają środka symetrii.

Jeśli założymy, że liczba osi symetrii jest dodatnia i parzysta, to twierdzenie wydaje się ok. Dla dowodu wystarczy pokazać, że istnieją dwie prostopadłe do siebie osie symetrii. Złożenie dwóch symetrii o osiach prostopadłych to symetria środkowa.

-- 23 lis 2011, o 20:19 --

Oczywiście co napisałem odnosi się do dowodu w lewą stronę. Prawidłowe sformułowanie twierdzenia powinno być w dwóch zdaniach:

Jeśli wielokąt ma środek symetrii, to ma parzystą liczbę osi symetrii. Jeśli wielokąt ma parzystą, dodatnią liczbę osi symetrii, to ma środek symetrii.

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 24 lis 2011, o 18:54

norwimaj pisze:Jeśli założymy, że liczba osi symetrii jest dodatnia i parzysta, to twierdzenie wydaje się ok. Dla dowodu wystarczy pokazać, że istnieją dwie prostopadłe do siebie osie symetrii. Złożenie dwóch symetrii o osiach prostopadłych to symetria środkowa.

OK, a jak pokazać, że gdy liczba osi symetrii jest parzysta, to istnieje para prostopadłych do siebie osi?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 24 lis 2011, o 19:23

Warto zauważyć jeden prosty fakt: jeśli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są osiami symetrii, to \(\displaystyle{ S_k(l)}\) też jest osią symetrii, gdzie \(\displaystyle{ S_k(l)}\) oznacza obraz prostej \(\displaystyle{ l}\) w symetrii względem \(\displaystyle{ k}\).