Dwa okręgi i styczna

schleswig · Post autor: **schleswig** » 20 lis 2011, o 22:35

Dwa okręgi \(\displaystyle{ O_{1}, O_{2}}\) styczne zewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ G}\), są styczne do prostej \(\displaystyle{ k}\) w punktach \(\displaystyle{ A, E}\) odpowiednio. Prosta \(\displaystyle{ EG}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ O_{1}}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\), różnym od \(\displaystyle{ G}\). Udowodnić, że proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ k}\) są prostopadłe.

Z góry dzięki za pomoc.

anna_ · Post autor: **anna_** » 20 lis 2011, o 23:20

A jak podpowiem, że kąt \(\displaystyle{ AGE}\) jest kątem prostym.

schleswig · Post autor: **schleswig** » 21 lis 2011, o 17:53

...ponieważ okrąg opisany na \(\displaystyle{ A, G, E}\) ma środek w \(\displaystyle{ F}\), a punkty \(\displaystyle{ A, E, G}\) są od niego równoodległe (z najmocniejszego twierdzenia geometrii). \(\displaystyle{ D, G, E}\) są współliniowe, zatem \(\displaystyle{ \sphericalange DGA = 90^{\circ}}\). \(\displaystyle{ D, G, A}\) leżą na okręgu, więc \(\displaystyle{ DA}\) jest średnicą, zatem jest prostopadła do stycznej w punkcie \(\displaystyle{ A}\).

Co kończy dowód.

Dzięki za pomoc.

anna_ · Post autor: **anna_** » 21 lis 2011, o 18:30

A wiesz jak udowodnić, że tamten kąt jest prosty?

aviaaa · Post autor: **aviaaa** » 21 lis 2011, o 18:47

ja bym powiedziała ze raczej EAD zawiera kąt prosty (wg mojego rysunku) poniewaz AD jest AOD są współliniowe a AD jest dodatkowo średnicą koła O.

schleswig · Post autor: **schleswig** » 21 lis 2011, o 18:56

anna_ pisze:A wiesz jak udowodnić, że tamten kąt jest prosty?

No \(\displaystyle{ AE}\) jest średnicą okręgu opisanego na \(\displaystyle{ A, G, E}\). A kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

anna_ · Post autor: **anna_** » 21 lis 2011, o 18:57

Ale to właśnie masz udowodnić, że EAD jest prosty

-- dzisiaj, o 18:59 --

schleswig pisze: No \(\displaystyle{ AE}\) jest średnicą okręgu opisanego na \(\displaystyle{ A, G, E}\). A kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

A skąd wiesz, że AE to średnica?

Zerknij tutaj:
194961.htm#p715238