Przekątna prostokąta

wiktoryna · Post autor: **wiktoryna** » 20 lis 2011, o 18:07

Jaka może być długość przekątnej prostokąta o polu \(\displaystyle{ 9cm^{2}}\)?
Odp. prawidłowe: 5cm, 6cm, 9cm. Prosze o wytłumaczenie, bo gdy liczę wychodzi mi sprzeczność z twierdzeniem Pitagorasa.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lis 2011, o 18:09

To przykładowe prawidłowe odpowiedzi - bo powinno ich być nieskończenie wiele.

wiktoryna · Post autor: **wiktoryna** » 20 lis 2011, o 18:24

Wiem, ale interesuje mnie rozwiązanie konkretnie dla tych przekątnych. Bo np. (nieprawidłowa odpowiedź) przekątna o długości 4, nie może być przekątną tego prostokąta i nie rozumiem dlaczego.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lis 2011, o 18:35

\(\displaystyle{ P=0,5d^2\cdot sin\alpha}\) gdzie kąt między przekątnymi to \(\displaystyle{ \alpha\in(0^0; 90^0>}\)
Z tego dostaniemy najkrótszą przekątną \(\displaystyle{ d=3\sqrt 2}\)

wiktoryna · Post autor: **wiktoryna** » 20 lis 2011, o 18:39

Wtedy przekątna mogłaby mieć długość 4 cm, a nie może. Poza tym, musi istnieć jakieś bardziej elementarne rozwiązanie. To zdanie z "Alfika" 2006 dla 3gim/ILO, więc wątpię żeby wymagali znajomości funkcji trygonometrycznych..

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lis 2011, o 18:43

wiktoryna pisze:Wtedy przekątna mogłaby mieć długość 4 cm, a nie może. Poza tym, musi istnieć jakieś bardziej elementarne rozwiązanie. To zdanie z "Alfika" 2006 dla 3gim/ILO, więc wątpię żeby wymagali znajomości funkcji trygonometrycznych..

1) Z czego to zadanie to dopiero teraz napisałaś - więc o elementarności też możemy dopiero teraz pogadać.

2) \(\displaystyle{ 3\sqrt 2>4}\) zatem (zgodnie z tym co pisałem) nie może.

Ad 1) najkrótszą przekątną ma kwadrat - elementarne jak nie wiem co.

wiktoryna · Post autor: **wiktoryna** » 20 lis 2011, o 18:50

piasek101 pisze: 2) \(\displaystyle{ 3\sqrt 2>4}\) zatem (zgodnie z tym co pisałem) nie może.

Ad 1) najkrótszą przekątną ma kwadrat - elementarne jak nie wiem co.

Ale jestem nieprzytomna, racja... Że też na to nie wpadłam :/ Wybacz i dziękuję.

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 20 lis 2011, o 18:50

wiktoryna pisze:Wtedy przekątna mogłaby mieć długość 4 cm, a nie może. Poza tym, musi istnieć jakieś bardziej elementarne rozwiązanie. To zdanie z "Alfika" 2006 dla 3gim/ILO, więc wątpię żeby wymagali znajomości funkcji trygonometrycznych..

proszę bardzo elementarnie : \(\displaystyle{ a,b}\) boki , \(\displaystyle{ c}\) przekątna

warunek z pola prostokąta \(\displaystyle{ ab=9}\)

zachodzi \(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\) czyli \(\displaystyle{ a^2+b^2 \ge 2ab}\)

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2 \ge 2ab=18}\)

\(\displaystyle{ c \ge \sqrt{18}=3 \sqrt{2}}\)