Trójkąt pitagorejski

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: fidget »

D e f i n i c j a. Trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, nazywamy trójkątem pitagorejskim.
a) ---
b) ---
c) Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe \(\displaystyle{ p^{2} - q^{2}, 2pq, p^{2}+q^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ p > q}\), to trójkąt ten jest prostokątny, a następnie znajdź długości poostałych boków trójkąta pitagorejskiego, którego najkrótszy bok ma długość \(\displaystyle{ 13}\).
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: anna_ »

c)
sprawdź czy \(\displaystyle{ (p^2-q^2)^2+(2pq)^2=(p^{2}+q^{2})^2}\)
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: fidget »

Przepraszam.
Zapomniałem napisać, że to co właśnie powyżej napisałaś od razu wyliczyłem.
I zgadza się.
Został drugi człon zadania...
Nie wiem tylko jak wyliczyć 2 pozostałe boki, skoro najkrótszy równy jest \(\displaystyle{ 13}\).
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: anna_ »

Innego pomysłu nie mam:
Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\), Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:

\(\displaystyle{ a=2n+1}\), \(\displaystyle{ b=2n(n+1)}\), \(\displaystyle{ c=2n^2+2n+1}\)
\(\displaystyle{ a=2n+1=13 \Rightarrow n=6}\)

\(\displaystyle{ b=84}\)

\(\displaystyle{ c=85}\)
Awatar użytkownika
McCormick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 lis 2011, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 2 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: McCormick »

\(\displaystyle{ p^{2}}\)+\(\displaystyle{ q ^{2}}\) jest większe od \(\displaystyle{ p^{2}}\)-\(\displaystyle{ q ^{2}}\). Tak więc 13 może byc równe 2pq lub \(\displaystyle{ p^{2}}\)-\(\displaystyle{ q ^{2}}\).
Jeśli 13=2pq to pq=7,5. Nie ma takich liczb naturalnych co by w iloczynie dawały liczbe nienaturalną.
Czyli 13=\(\displaystyle{ p^{2}}\)-\(\displaystyle{ q ^{2}}\)
Z wzoru skróconego mnożenia uzyskujemy 13=\(\displaystyle{ p^{2}}\)-\(\displaystyle{ q ^{2}}\)=(p-q)(p+q)
Skoro 13 jest liczbą pierwszą to p-q lub p+q musi byc równe jeden . Musi to być p-q bo jeśli p+q=1 to \(\displaystyle{ p-q \le 0}\) a tak nie może być bo \(\displaystyle{ p \ge q}\) .
Skoro p-q=1 to p=q+1
Podstawiamy pod p+q=13 q+q+1=13
Wychodzi nam że q równa sie 6 ,a p=7.
W takim razie pozostałe boki 2*7*6=84 i\(\displaystyle{ 7 ^{2}+6 ^{2}=85}\)
Sprawdzenie :
\(\displaystyle{ 84 ^{2}+13 ^{2}}\) = 7225
\(\displaystyle{ \sqrt{7225}}\) = 85 .
\(\displaystyle{ p^{2}}\)+\(\displaystyle{ q ^{2}}\) to przeciwprostokątna a 2pq i \(\displaystyle{ p^{2}}\)-\(\displaystyle{ q ^{2}}\) to przyprostokątne.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: fidget »

anna_ pisze:Innego pomysłu nie mam:
Poszukując innych trójkątów, których boki a, b, c spełniałyby warunek \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\), Pitagoras znalazł wzory, które w dzisiejszej symbolice można napisać w postaci:

\(\displaystyle{ a=2n+1}\), \(\displaystyle{ b=2n(n+1)}\), \(\displaystyle{ c=2n^2+2n+1}\)
\(\displaystyle{ a=2n+1=13 \Rightarrow n=6}\)

\(\displaystyle{ b=84}\)

\(\displaystyle{ c=85}\)

Wzorów nie ma w tablicach, ale są na tyle łatwe że chyba warto je zapamiętać?
Mają one szersze zastosowanie?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: anna_ »

Chyba tylko do szukania trójek pitagorejskich.

Jesteś pewnien, że w poleceniu było
\(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami dodatnimi
?
Gdyby tam było liczbami naturalnymi, to rozwiązanie McCormicka byłoby prawie dobre.
fidget
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 cze 2011, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dev/null
Podziękował: 65 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: fidget »

Niestety jest napisane "dodatnimi"
A Cormic doskonale rozwiązał zadanie z interpretacją "naturalnymi".
McCormick pisze: ...Nie ma takich liczb naturalnych co by w iloczynie dawały liczbe nienaturalną.
Czyli...
Dzięki wam obu za pomoc! : )
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: anna_ »

Wyrzuć tylko sam początek.
Sprawdziłeś, że trojkąt jest prostokątny, więc przyprostokątne to \(\displaystyle{ p^{2} - q^{2}}\) i \(\displaystyle{ 2pq}\), a przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ p^{2}+q^{2}}\).
Boki krótsze to przyprostokątne.

PS
McCormick pisze: Skoro 13 jest liczbą pierwszą to p-q lub p+q musi byc równe jeden
Tylko w przypadku gdy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są naturalne, a w zadaniu podano jedynie, że są dodatnie.
Awatar użytkownika
McCormick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 lis 2011, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 2 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: McCormick »

Myslałem że całe to zadanie było dla trójkąta pitagorejskiego którego definicja jest to że ma kąt prostokątny i wszystkie długości boków są liczbami naturalnymi. Masz definicje na początku zadania podaną.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: anna_ »

To, że boki są naturalne nie gwarantuje, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są naturalne.
Awatar użytkownika
McCormick
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 lis 2011, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 2 razy

Trójkąt pitagorejski

Post autor: McCormick »

mamy że \(\displaystyle{ p ^{2}-q ^{2}}\) jest liczba naturalną. Czyli obydwa dają taką samą reszte dzielenie przez 1. Nie jestem pewny ale wydaje mi sie że w takim razie p i q maja taka samą reszte z dzielenia przez 1 . Gdyby była ona inna od 1 to wtedy 2pq nie mogło by być liczbą naturalną bo byłoby iloczynem 2 i liczby niepodzielnej przez 1.Byłaby ona równa 7,5. Wtedy p i q musiałyby miec formę a, \(\displaystyle{ \sqrt{0,5}}\) i b, \(\displaystyle{ \sqrt{0,5}}\). Tylko że wtedy ich iloczyn byłby nie byłby liczbą równą 7,5. Czyli p i q muszą być podzielne przez 1. Tylko właśnie kłopot z tym zamieniem z kwadratów na podstawowe. Jeśli to nieprawda to plz piszcie.
ODPOWIEDZ