zależność między kątami dwóch ramion

[mikemek]

Na prostej a wyznaczone są dwa punkty A i A'. Odległość między nimi jest znana i wynosi c. Punkt A jest jednocześnie środkiem okręgu o promieniu r takim, że A' znajduje się wewnątrz tego okręgu. Dany jest punkt B wyznaczony na obwodzie okręgu. Promień okręgu poprowadzony z A do B wyznacza z prostą a kąt \alpha .

Jaka jest zależność między kątem \alpha a kątem wyznaczonym przez prostą a oraz prostą przechodzącą przez punkty A' i B?

Jeśli znane są długość odcinka wyznaczonego przez punkty A' i B oraz kąt \alpha , to jak obliczyć promień okręgu r?

[anna_]

Jeśli znane są długość odcinka wyznaczonego przez punkty A' i B oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) , to jak obliczyć promień okręgu r?

AU

75411bc347485b46.png (19.82 KiB) Przejrzano 69 razy

[/url]

Licz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ AA'B}\)

Część pierwsza zadania. Promień jest znany?

[mikemek]

Tak, w pierwszym przypadku znany jest promień r, a zmienia się długość ramienia A'B.
W drugim przypadku stała jest długość A'B a zmienia się r.

Piękny obrazek

[anna_]

A masz może odpowiedź do tej pierwszej części?

[mikemek]

Próbuję przypomnieć sobie podstawy - ciężko idzie, od kilkunastu lat liczyłem jedynie rachunki

[anna_]

Pytałam czy masz może w książce odpowiedź do tej pierwszej części.

Udało mi się jedynie dojść do
\(\displaystyle{ \sin^2\beta= \frac{r^2 \sin^2\alpha}{r^2+c^2-2rc\cos\alpha}}\)
ale nie jestem pewna czy to o to chodziło.

[mikemek]

Uff wygląda straszliwie. Zadanie nie jest z książki, tylko z życia wzięte, więc niestety nie mam ściągi Jest to fragment trochę szerszego zagadnienia, z którym zmagam się dla przyjemności.-- 22 lis 2011, o 10:16 --Wychodzi mi, że najłatwiej chyba spuścić wysokość z wierzchołka B i rozwiązywać dwa trójkąty prostokątne. Wtedy:

\(\displaystyle{ \tg \beta' =\frac{r\sin\alpha}{r\cos\alpha - c}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \beta'=180-\beta}\)

Pytanie, czy da się prościej?