Mam problem z rozwiązaniem poniższych zadań a w środę mam z tego klasówkę. Proszę o w miarę możliwości jak najprostsze rozwiązania (bez funkcji trygonometrycznych, liczb zespolonych itp.).
6. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i AB trójkąta równobocznego ABC, przy czym BE=CD. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Wykazać, że BM= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)AD.
11.Dwusieczna kąta ACB trójkąta ABC przecina odcinek AB w punkcie D. Punkt P leży na odcinku CD. Na boku AB danego trójkąta zbudowano, po zewnętrznej stronie trójkąta ABC, taki trójkąt ABQ, że \(\displaystyle{ \sphericalangle QAB= \sphericalangle PAC}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle QBA=\sphericalangle PBC}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sphericalangle CDA= \sphericalangle QDA}\).
13.Niech ABCDEF będzie sześciokątem wypukłym takim, że BC=CD=DE, EF=FA=AB oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle BCD= \sphericalangle EFA=60°}\). Niech G i H będą punktami leżącymi wewnątrz tego sześciokąta. Udowodnić, że AG+GB+GH+DH+HE\(\displaystyle{ \ge}\)CF.
14. Dany jest prostokąt ABCD, w którym AD<AB. Wewnątrz tego prostokąta wyznaczyć takie punkty P i Q, dla których suma AP+DP+PQ+QB+QC przyjmuje jak największą wartość.
Z góry dziękuje za pomoc.
przystawanie trójkątów
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
przystawanie trójkątów
11)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sphericalangle QAD = \sphericalangle PAC}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle ACD = \sphericalangle PCB}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle CBP = \sphericalangle DBQ}\), więc punkty P,D są izogonalnie sprzężone w czworokącie \(\displaystyle{ ACBQ}\), więc da się w niego wpisać elipsę o ogniskach w punktach \(\displaystyle{ P,D}\). Niech punktami styczności danej elipsy z bokami naszego czworokąta będą punkty \(\displaystyle{ L,H,N,M}\). Wówczas \(\displaystyle{ \sphericalangle NDA = \sphericalangle ADM \wedge \sphericalangle LDB = \sphericalangle BDH}\), stąd mamy, że teza jest równoważna \(\displaystyle{ \sphericalangle CDN = \sphericalangle MDQ}\), ale \(\displaystyle{ \sphericalangle CDN = \frac{1}{2} \sphericalangle HDN = \frac{1}{2} \sphericalangle MDL = \sphericalangle MDQ}\) cnd.
- AU
- 33v0oar.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 57 razy