Zastosowanie funkcji trygonometrycznych w 7łatwych zadaniach

[fidget]

1) Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość \(\displaystyle{ R}\). Znajdź długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt i obwód trójkąta.

2) W okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 13}\) wpisano rozwartokątny trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ 24}\). Oblicz pole trójkąta.

3) Suma miar dwóch kątów trójkąta jest równa \(\displaystyle{ \alpha}\) , a boki zawarte w ramionach trzeciego kąta mają długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Oblicz pole trójkąta.

4) Romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ 30^\circ}\) jest opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 2}\). Oblicz pole tego rombu.

5) Wysokości równoległoboku mają długości \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\). Oblicz pole równoległoboku wiedząc, że jego obwód wynosi \(\displaystyle{ 30}\).

6) Kąt rozwarty równoległoboku o bokach długości \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 7}\) ma miarę \(\displaystyle{ 150^\circ}\) . Oblicz pole tego równoległoboku.

7) Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku \(\displaystyle{ 2}\) zakreślono okręgi o promieniu \(\displaystyle{ 2}\). Oblicz pole "soczewki" wyznaczonej przez te okręgi.

[mmoonniiaa]

1) Wykorzystaj fakt, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} h_{\Delta}}\), a promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny: \(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} h_{\Delta}}\). Natomiast wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ a}\), to: \(\displaystyle{ h_{\Delta}= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)

2) Skorzystaj z twierdzenia sinusów: \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha } =2R}\), a następnie ze wzoru na podwojony sinus: \(\displaystyle{ \sin \alpha =2\sin \frac{1}{2} \alpha \cos \frac{1}{2} \alpha}\) , gdy \(\displaystyle{ \sin \frac{1}{2} \alpha = \frac{12}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2} \alpha = \frac{h}{a}}\) , natomiast ramię trójkąta: \(\displaystyle{ a= \sqrt{144+h^{2}}}\).

3) Pole trójkąta można obliczyć ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ab\sin(180^{\circ}- \alpha )}\). Wykorzystaj wzór redukcyjny: \(\displaystyle{ \sin(180^{\circ}- \alpha )=\sin \alpha}\).

[fidget]

Nic nie rozumiem.

[mmoonniiaa]

To znaczy nie rozumiesz tych zapisów (to są własności, z których można swobodnie korzystać), czy nie rozumiesz jak te własności zastosować?

[fidget]

Skąd są te wzory.

Jest ich więcej? mam je znać na pamięć?
Przygotowuję się do matury i nie mogę znaleźć nic z tego w tym arkuszu ze wzorami...

[mmoonniiaa]

Czyli korzystasz z tego: ... tyczne.pdf
Znajdziesz tam m.in. wzory: na wysokość trójkąta równobocznego, twierdzenie sinusów, wzór na sinus podwojonego kąta oraz kilka wzorów na pole trójkąta. Z tych właśnie wzorów skorzystałam w poprzednim poście. Co prawda w tablicach maturalnych brakuje zależności pomiędzy wysokością trójkąta równobocznego a promieniami okręgu wpisanego i opisanego na nim - Twoja decyzja, czy chcesz te własności zapamiętać.

[fidget]

Napisz mi proszę te wzory.
Zapiszę je sobie gdzieś w tej książeczce i mam nadzieję nauczę się ich na pamięć.

[mmoonniiaa]

Pisałam już wcześniej:
Zależność pomiędzy promieniem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3} h_{\Delta}}\)
Zależność pomiędzy promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny: \(\displaystyle{ r= \frac{1}{3} h_{\Delta}}\)