Działania na trapezie

[fidget]

Wysokość trapezu równoramiennego ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) , a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole trapezu wiedząc, że sinus jego kąta ostrego jest równy \(\displaystyle{ 0,2}\) .


Doszedłem do takiego czegoś:
\(\displaystyle{ x = 2 \sqrt{6} \\
P = 2 \sqrt{6} \cdot 2 \sqrt{6} = 24}\)

Niestety w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 24 \sqrt{6}}\).
Co zrobiłem źle..?

[mmoonniiaa]

Wiemy, że: \(\displaystyle{ \sin \alpha = 0,2 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^{2} \alpha }= \sqrt{0,96}=0,4 \sqrt{6}}\)
Więc: \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \frac{0,2}{0,4 \sqrt{6} }= \frac{1}{2 \sqrt{6} }}\)
Jeśli długość krótszej podstawy (a zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości dłuższej podstawy) oznaczymy jako \(\displaystyle{ x}\), to: \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{x}}\)
Przyrównując otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{x}=\frac{1}{2\sqrt{6} } \Leftrightarrow x=12}\)

Teraz wystarczy podstawić do wzoru na pole trapezu.

[fidget]

Jeśli długość krótszej podstawy (a zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) długości dłuższej podstawy) oznaczymy jako \(\displaystyle{ x}\), to: \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{x}}\)

Gdzie masz wtedy alfę?
Skąd się to w ogóle wzięło?
Patrzę na rysunek i nie widzę sensu, czemuby to liczyć.
Nienawidzę planimetrii...

[mmoonniiaa]

Widzę, że bez pomocniczego rysunku się nie obejdzie.

[fidget]

Tak robiłem na początku, ale tak nie można oznaczyć.
Weźmy inny równoramienny trapez:

[mmoonniiaa]

Chodzi Ci o te iksy? Przecież sam pisałeś:

jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej

[fidget]

Spójrz.

Jedna z podstaw jest 3x większa od drugiej.
Jednak na tej podstawie nie możemy określić że (jak to ja nazywam) "ściany boczne" i podstawa prostokąta są takiego samego rozmiaru.

Chodzi mi o to, że masz zły rysunek.
Nie można się niestety na nim wzorować.
Dla przykładu naryswowałem swój.
I jak zapewne widzisz - oznaczając rysunek jak Ty - popełniłbym błąd.

[mmoonniiaa]

Mamy tutaj do czynienia z trapezem równoramiennym. "Środkowa część" dolnej-dłuższej podstawy trapezu jest tej samej długości co górna-krótsza podstawa trapezu - zgadza się? Skoro w zadaniu jest powiedziane, że jedna podstawa (3x) jest 3 razy dłuższa od drugiej (x) tzn., że "boczne odcinki" także mają długość x, i "lewy boczny odcinek" musi być tej samej długości co "prawy boczny odcinek"

[fidget]

Nie wiem jak to zrobiłem na początku, ale teraz tak naprawdę wystarczył mi fakt, że ten trapez MUSI wyglądać tak jak ten Twój.
Skoro \(\displaystyle{ \sin = \frac{1}{5}}\)
To podstawiając wychodzi nam:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{5 \sqrt{6} }}\)
No i mamy ścianę boczną.
Następnie korzystając z Pitagorasa wyznaczamy "\(\displaystyle{ x}\)" i... podstawiamy wszystko do wzoru.

Twój sposób jest dobry, ale dłuższy.
Jednak uratowałaś mi tym życie i przesyłam Ci internetowego buziaka - dzięki! : )
Zrozumiałem to! : D