Długość podstawy trójkąta

1q2w3e4r · Post autor: **1q2w3e4r** » 9 lis 2011, o 08:41

W trójkącie równoramiennym o długości ramienia 4 cm poprowadzono środkową ramienia . Wyznacz Długość podstawy trójkąta jeśli środkowa ma długość 3 cm.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 9 lis 2011, o 08:50

1. Środkowa dzieli trójkąt na dwa mniejsza o równych polach
2. Zastosuj wzór Herona dla jednej części trójkąta

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 9 lis 2011, o 11:21

Można też z tw.cosinusów, biorąc pod uwagę,że \(\displaystyle{ \cos ( \pi - \alpha )=-\cos \alpha}\)

otrzymujemy układ (iks to długość podstawy)

\(\displaystyle{ 4^2=2^2+3^2-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ x^2=2^2+3^2+2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \alpha}\)

po dodaniu stronami ładna redukcja i mamy \(\displaystyle{ 16+x^2=26,x^2=10,x= \sqrt{10}}\)

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 9 lis 2011, o 13:22

Tylko że autor ma 13 lat więc z trygonometrią (że o tw. cosinusów nie wspomnę) raczej jeszcze nie miał styczności.

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 9 lis 2011, o 13:33

Inkwizytor pisze:Tylko że autor ma 13 lat więc z trygonometrią (że o tw. cosinusów nie wspomnę) raczej jeszcze nie miał styczności.

jeżeli 13-latek może przyjmować na wiarę wzór Herona, to może i twierdzenie cosinusów

A na poważnie, jeśli będzie chciał z Pitagorasa, to musi mieć że środkowe dzielą się 2:1, a też nie wiem czy w tym wieku to przerabiają.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 9 lis 2011, o 15:12

Jest jednak delikatna różnica pomiędzy stosowaniem wzoru Herona a stosowaniem trygonometrii (BTW jako ciekawostkę powiem, że na profilu podstawowym w liceum nie ma w podstawie programowej ani tw. sinusów ani cosinusów).

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 9 lis 2011, o 15:30

Inkwizytor pisze:Jest jednak delikatna różnica pomiędzy stosowaniem wzoru Herona a stosowaniem trygonometrii

zgadzam się że delikatna różnica jest , w tym sensie że wzór Herona nie wprowadza nowych pojęć bo pierwiastek w tym wieku już jest. Ale wzór jako taki "spada z nieba" - dlaczego akurat on jest prawdziwy to bez trygonometrii ciężko wytłumaczyć.

1q2w3e4r, masz tu układ równań do Pitagorasa - środkowa spadająca na podstawę jest jednocześnie wysokością :

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{2} \right)^2+\left( \frac{h}{3} \right)^2=2^2}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{x}{2} \right)^2+h^2=4^2}\)

ponieważ o \(\displaystyle{ h}\) w zadaniu nie pytają , można pomnożyć pierwsze równanie stronami przez \(\displaystyle{ 9}\) i odjąć od niego drugie, dostajemy :

\(\displaystyle{ \frac{8}{4}x^2=20}\)

a wynik już podałem wcześniej.

1q2w3e4r · Post autor: **1q2w3e4r** » 9 lis 2011, o 16:16

dzieki:)-- 9 lis 2011, o 16:20 --a propo to ja nie mam 13 lat hehe