Zadanie3 z 46 olimpiady matematycznej pierwszego szczebla
Czworokąt o bokach a,b,c,d jest wpisany w okrąg o promieniu R. Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}}\) to w tym czworokącie jeden z kątów jest prosty lub przekątne są do siebie prostopadłe.
Znalazłem 2 przydatne wzory:
e,f- przekątne
\(\displaystyle{ sin\alpha}\)- kąt między przekątnymi
Pole czworokąta wpisanego w okrąg ( wzór Herona)
\(\displaystyle{ \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)
dla 2p=a+b+c+d
Pole dowolnego czworokąta wypukłego
\(\displaystyle{ 0,5ef sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}=0,5ef sin\alpha}\)
lewą stronę powinno dać się przekształcić tak aby została jakaś wartość z promieniem,a skruciły się wartości boków, w czego efekcjie e lub f=2R lub \(\displaystyle{ sin\alpha=1}\), lecz mi coś nie wychodzi.
dodam, że wyszło mi
\(\displaystyle{ L^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-4abcd)}\)