Znalazłam dwa tematy odnośnie tego zadania jednak nikt nie napisał jak to zrobić i próbowałam według tamtych wskazówek, jednak nic mi nie wychodzi. Proszę o pomoc!
Krótsza przekątna deltoidu zawiera się w jego osi symetrii. Druga przekątna jest o 2 cm dłuższa od krótszej przekątnej i dzieli krótszą przekątną w stosunku 2:5.
W deltoidzie połączono środki kolejnych boków i powstał czworokąt o obwodzie 58 cm.
a) Wykaż, że powstały czworokąt jest prostokątem i oblicz stosunek długości jego boków.
b) Oblicz obwód deltoidu.
W podpunkcie a ktoś w innym temacie napisał pełną odpowiedź, jednak ja mam wykazać - czyli sposobem matematycznym a nie słowami, że boki są równoległe do przekątnych. Tutaj także proszę o pomoc!
Deltoid i czworokąt w nim utworzony
-
mmezuzanna
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 16 wrz 2011, o 12:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
-
Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Deltoid i czworokąt w nim utworzony
a)
Przyjmijmy oznaczenia: \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) to kolejne wierzchołki deltoidu, \(\displaystyle{ S}\) to punkt przecięcia jego przekątnych, \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) to środki odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,AD}\). Widzimy, że punkty \(\displaystyle{ B,E,A}\) leżą na jednej półprostej wychodzącej z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\), podobnie punkty \(\displaystyle{ B,F,C}\). Ponadto \(\displaystyle{ 2 | BE |=| BA|}\) oraz \(\displaystyle{ 2|BF | = |BC|}\). Oznacza to, że trójkąty równoramienne \(\displaystyle{ BEF}\) oraz \(\displaystyle{ BAC}\) są podobne w skali \(\displaystyle{ 1:2}\). Stąd w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ EF}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są równoległe. Analogicznie, pozostałe trzy pary odpowiednich odcinków są parami odcinków równoległych. \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są prostopadłe, więc \(\displaystyle{ EF}\) i \(\displaystyle{ FG}\) (jako równoległe do, odpowiednio, \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\)) również są prostopadłe, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle EFG}\) jest prosty. Analogicznie pozostałe kąty czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\) są proste, zatem jest to prostokąt.
Rozumiesz ten dowód? Jeśli tak, to pozostaje Ci tylko obliczyć stosunek długości boków prostokąta.
Przyjmijmy oznaczenia: \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) to kolejne wierzchołki deltoidu, \(\displaystyle{ S}\) to punkt przecięcia jego przekątnych, \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) to środki odpowiednio odcinków \(\displaystyle{ AB,BC,CD,AD}\). Widzimy, że punkty \(\displaystyle{ B,E,A}\) leżą na jednej półprostej wychodzącej z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\), podobnie punkty \(\displaystyle{ B,F,C}\). Ponadto \(\displaystyle{ 2 | BE |=| BA|}\) oraz \(\displaystyle{ 2|BF | = |BC|}\). Oznacza to, że trójkąty równoramienne \(\displaystyle{ BEF}\) oraz \(\displaystyle{ BAC}\) są podobne w skali \(\displaystyle{ 1:2}\). Stąd w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ EF}\) i \(\displaystyle{ AC}\) są równoległe. Analogicznie, pozostałe trzy pary odpowiednich odcinków są parami odcinków równoległych. \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są prostopadłe, więc \(\displaystyle{ EF}\) i \(\displaystyle{ FG}\) (jako równoległe do, odpowiednio, \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\)) również są prostopadłe, czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle EFG}\) jest prosty. Analogicznie pozostałe kąty czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\) są proste, zatem jest to prostokąt.
Rozumiesz ten dowód? Jeśli tak, to pozostaje Ci tylko obliczyć stosunek długości boków prostokąta.