wysokosc i bok rombu
wysokosc i bok rombu
Ile centymetrów długości ma bok i wysokość rombu opuszczona na ten bok, jezeli wiadomo ze suma ich dlugosci wynosi 80 cm, a pole rombu jest najwieksze
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
wysokosc i bok rombu
Pole rombu jest funkcją \(\displaystyle{ P(a, \alpha)=a^2\sin\alpha}\)
U nas bok jest stały zatem \(\displaystyle{ P}\) jest funkcją \(\displaystyle{ \alpha \text{ i }P(\alpha)= a^2\sin\alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ P}\) osiąga wartość największą dla \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ P(\alpha_{0})=\max{ (P(\alpha))} \Leftrightarrow \sin\alpha_{0}=\max {(\sin \alpha)} \Leftrightarrow \sin{\alpha_{0}}= 1 \Leftrightarrow \alpha_{0}= \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Ale \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) jest kątem w rombie, więc zachodzi \(\displaystyle{ 0<\alpha_{0}< \pi}\).
Wobec powyższego \(\displaystyle{ \alpha_{0}= \frac{\pi}{2}}\),
Zatem \(\displaystyle{ P(a, \alpha_{0})=a^2\sin\alpha_{0}=a^2}\) - romb o największym polu jest kwadratem.
Dalej powinno być już prosto
U nas bok jest stały zatem \(\displaystyle{ P}\) jest funkcją \(\displaystyle{ \alpha \text{ i }P(\alpha)= a^2\sin\alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ P}\) osiąga wartość największą dla \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ P(\alpha_{0})=\max{ (P(\alpha))} \Leftrightarrow \sin\alpha_{0}=\max {(\sin \alpha)} \Leftrightarrow \sin{\alpha_{0}}= 1 \Leftrightarrow \alpha_{0}= \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Ale \(\displaystyle{ \alpha_{0}}\) jest kątem w rombie, więc zachodzi \(\displaystyle{ 0<\alpha_{0}< \pi}\).
Wobec powyższego \(\displaystyle{ \alpha_{0}= \frac{\pi}{2}}\),
Zatem \(\displaystyle{ P(a, \alpha_{0})=a^2\sin\alpha_{0}=a^2}\) - romb o największym polu jest kwadratem.
Dalej powinno być już prosto
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
wysokosc i bok rombu
\(\displaystyle{ a}\) - bok
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość
\(\displaystyle{ a+h=80 \Rightarrow h=80-a}\)
\(\displaystyle{ P=ah=a(80-a)=-a^2+80a}\)
poszukaj pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli.
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość
\(\displaystyle{ a+h=80 \Rightarrow h=80-a}\)
\(\displaystyle{ P=ah=a(80-a)=-a^2+80a}\)
poszukaj pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli.
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
wysokosc i bok rombu
I to jest właśnie szukana długość boku, bo współczynnik przy \(\displaystyle{ a^2}\) jest ujemny, zatem największa wartość pola jest przyjmowana właśnie dla tego \(\displaystyle{ a}\), które jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.