W trapezie równoramiennym o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha=45^o}\) suma wysokości i dłuższej podstawy równa jest 12.
a) Jaką długość powinny mieć boki trapezu aby jego pole było największe?
b) Dla trapezu o wyznaczonych długościach boków oblicz promień okręgu na nim opisanego.
Optymalizacja w trapezie. Długość promienia okręgu opisa
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Optymalizacja w trapezie. Długość promienia okręgu opisa
a
Niech a, b będą długościami podstaw, a h długościa wysokości.
Zauważ, że \(\displaystyle{ h=\frac{a-b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P=\frac{(a+b)h}{2}}\) oraz a+h=12.
Korzystając z powyższych informacji podstawiamy do wzoru na pole niewiadomą a ze wzoru pierwszego.
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P=\frac{(2h+2b)h}{2}=h^2+hb}\)
Ze wzoru trzeciego podstawiamy do wzoru pierwszego niewiadomą a i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4-\frac{1}{3}b}\). Teraz podstawiasz to do przekształconego wzoru na pole i dostajesz równanie kwadratowe z niewiadomą b. Wystarczy policzyć jego maksimum np. korzystając z pochodnych.
Niech a, b będą długościami podstaw, a h długościa wysokości.
Zauważ, że \(\displaystyle{ h=\frac{a-b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P=\frac{(a+b)h}{2}}\) oraz a+h=12.
Korzystając z powyższych informacji podstawiamy do wzoru na pole niewiadomą a ze wzoru pierwszego.
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ P=\frac{(2h+2b)h}{2}=h^2+hb}\)
Ze wzoru trzeciego podstawiamy do wzoru pierwszego niewiadomą a i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4-\frac{1}{3}b}\). Teraz podstawiasz to do przekształconego wzoru na pole i dostajesz równanie kwadratowe z niewiadomą b. Wystarczy policzyć jego maksimum np. korzystając z pochodnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 23 wrz 2004, o 20:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: AGH-EAIiE
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Optymalizacja w trapezie. Długość promienia okręgu opisa
1) Wynik: długość ramion \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\), długość podstaw 3 i 9.
2) Co do długości promienia okręgu opisanego, zauważ, że jest on równy długości promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach dłuższej podstawy, ramienia i przekątnej trapezu. Korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}ah}\) i wychodzi Ci, że \(\displaystyle{ R=\frac{3\sqrt{10}}{2}}\).
2) Co do długości promienia okręgu opisanego, zauważ, że jest on równy długości promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach dłuższej podstawy, ramienia i przekątnej trapezu. Korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}ah}\) i wychodzi Ci, że \(\displaystyle{ R=\frac{3\sqrt{10}}{2}}\).