Optymalizacja w trapezie. Długość promienia okręgu opisa

[Faktor]

W trapezie równoramiennym o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha=45^o}\) suma wysokości i dłuższej podstawy równa jest 12.

a) Jaką długość powinny mieć boki trapezu aby jego pole było największe?

b) Dla trapezu o wyznaczonych długościach boków oblicz promień okręgu na nim opisanego.

[Zlodiej]

a
Niech a, b będą długościami podstaw, a h długościa wysokości.

Zauważ, że \(\displaystyle{ h=\frac{a-b}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ P=\frac{(a+b)h}{2}}\) oraz a+h=12.

Korzystając z powyższych informacji podstawiamy do wzoru na pole niewiadomą a ze wzoru pierwszego.

Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P=\frac{(2h+2b)h}{2}=h^2+hb}\)

Ze wzoru trzeciego podstawiamy do wzoru pierwszego niewiadomą a i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ h=4-\frac{1}{3}b}\). Teraz podstawiasz to do przekształconego wzoru na pole i dostajesz równanie kwadratowe z niewiadomą b. Wystarczy policzyć jego maksimum np. korzystając z pochodnych.

[paulgray]

1) Wynik: długość ramion \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\), długość podstaw 3 i 9.
2) Co do długości promienia okręgu opisanego, zauważ, że jest on równy długości promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach dłuższej podstawy, ramienia i przekątnej trapezu. Korzystasz ze wzoru: \(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}=\frac{1}{2}ah}\) i wychodzi Ci, że \(\displaystyle{ R=\frac{3\sqrt{10}}{2}}\).