W trójkat równoramienny wpisano okrag o promieniu r. Wyznaczyc pole trójkata, jezeli
srodek okregu opisanego na tym trójkacie lezy na okregu wpisanym w ten trójkat
nie mam pojecia jak sie za to zabrac?
wyznaczyc pole trojkata opisanego/wpisanego
-
dorothy
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 11 paź 2011, o 15:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
wyznaczyc pole trojkata opisanego/wpisanego
Ostatnio zmieniony 24 paź 2011, o 16:33 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: ";/" - w jakim celu umieszczono ten symbol?
Powód: ";/" - w jakim celu umieszczono ten symbol?
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
wyznaczyc pole trojkata opisanego/wpisanego
- AU
- 6b542e525d4df243.png (24.51 KiB) Przejrzano 119 razy
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ O_1EC}\) i \(\displaystyle{ DBC}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{R+r} = \frac{0,5a}{b}}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)
\(\displaystyle{ (R+2r)^2+(0,5a)^2=b^2}\)
Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ DBO}\)
\(\displaystyle{ (2r)^2+(0,5a)^2=R^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{r}{R+r} = \frac{0,5a}{b} \\ (R+2r)^2+(0,5a)^2=b^2\\ (2r)^2+(0,5a)^2=R^2\end{cases}}\)
Innego pomysłu niestety nie mam.
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
wyznaczyc pole trojkata opisanego/wpisanego
Myślę, że mamy tu dwa przypadki, pierwszy gdy środek okręgu opisanego leży "u góry" (tak jak na rysunku anny) oraz gdy leży "na dole":
W drugim przypadku zadanie jest proste bo mamy do czynienia z równoramiennym trójkątem prostokątnym (mamy tam kąt prosty bo kąt wpisany jest oparty na średnicy).
Nad pierwszym przypadkiem jeszcze pomyślimy... -- 26 października 2011, 00:00 --Pierwszy przypadek:
Skorzystajmy z tego, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Skupmy się na połowie rysunku - na rysunku zaznaczamy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{r}{R+r}}\)
\(\displaystyle{ cos2\alpha= \frac{2r}{R}}\)
ponadto wiemy, że:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=1-2sin^2\alpha}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{2r}{R}=1- \frac{2r^2}{R^2+2Rr+r^2}}\)
ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ R^3-5Rr^2-2r^3=0}\) niewiadomą jest \(\displaystyle{ R}\)
Korzystamy z twierdzenia, że jeśli wielomian ma pierwiastki wymierne to należy ich szukać w ilorazie całkowitych dzielników wyrazu wolnego i całkowitych dzielników wyrazu przy najwyższej potędze. Po krótkim kombinowaniu zauważamy, że \(\displaystyle{ R=-2r}\) (podstawmy, wielomian się wyzeruje). Tego rozwiązania nie bierzemy pod uwagę bo długość R nie może być ujemna (r jest dodatnie), ale pozwala nam "uprościć" równanie bo teraz korzystamy z tw. Bezouta i dzielimy wielomian \(\displaystyle{ R^3-5Rr^2-2r^3}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (R+2r)}\) - otrzymamy trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ R^2-2Rr-r^2}\). Delta itd.... Otrzymamy dwa rozwiązania. Jedno się przyda... \(\displaystyle{ R=r(1+ \sqrt{2})}\)
W drugim przypadku zadanie jest proste bo mamy do czynienia z równoramiennym trójkątem prostokątnym (mamy tam kąt prosty bo kąt wpisany jest oparty na średnicy).
Nad pierwszym przypadkiem jeszcze pomyślimy... -- 26 października 2011, 00:00 --Pierwszy przypadek:
Skorzystajmy z tego, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Skupmy się na połowie rysunku - na rysunku zaznaczamy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{r}{R+r}}\)
\(\displaystyle{ cos2\alpha= \frac{2r}{R}}\)
ponadto wiemy, że:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=1-2sin^2\alpha}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{2r}{R}=1- \frac{2r^2}{R^2+2Rr+r^2}}\)
ostatecznie otrzymujemy
\(\displaystyle{ R^3-5Rr^2-2r^3=0}\) niewiadomą jest \(\displaystyle{ R}\)
Korzystamy z twierdzenia, że jeśli wielomian ma pierwiastki wymierne to należy ich szukać w ilorazie całkowitych dzielników wyrazu wolnego i całkowitych dzielników wyrazu przy najwyższej potędze. Po krótkim kombinowaniu zauważamy, że \(\displaystyle{ R=-2r}\) (podstawmy, wielomian się wyzeruje). Tego rozwiązania nie bierzemy pod uwagę bo długość R nie może być ujemna (r jest dodatnie), ale pozwala nam "uprościć" równanie bo teraz korzystamy z tw. Bezouta i dzielimy wielomian \(\displaystyle{ R^3-5Rr^2-2r^3}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (R+2r)}\) - otrzymamy trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ R^2-2Rr-r^2}\). Delta itd.... Otrzymamy dwa rozwiązania. Jedno się przyda... \(\displaystyle{ R=r(1+ \sqrt{2})}\)