wyznaczyc stosunek trojkatow

[dorothy]

Na bokach AC i BC trójkata ABC zaznaczono odpowiednio punkty E i D tak, ze
\(\displaystyle{ \frac{|EC|}{|AE|}= \frac{|DC|}{|DB|}=2}\) Wyznaczyc stosunek pola trójkata ABC do pola trójkata ABF,
gdzie F jest punktem przeciecia odcinków AD i BE

[tometomek91]

Z tw. Menelaosa mamy, że
\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{AF}{FD} \cdot \frac{1}{3}=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{[AFB]}{[FDB]}=\frac{3}{2}}\) stąd \(\displaystyle{ [FDB]=\frac{2}{3} [AFB]}\)
Mamy też
\(\displaystyle{ \frac{ [AFB] +[FDB]}{ [ADC] }=\frac{[ABD]}{[ADC]}=\frac{1}{2}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{ [AFB] +[FDB]}{ [ADC] }=\frac{ [AFB] \left(1+\frac{2}{3} \right)}{ [ADC] }=\frac{1}{2}}\) więc
\(\displaystyle{ \frac{ [AFB] }{ [ADC] }=\frac{3}{10}}\) ale \(\displaystyle{ [ADC]=\frac{2}{3}[ABC]}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ \frac{ [AFB] }{ [ABC] }=\frac{1}{5}}\)