trójkąt-boki ciąg arytmetyczny różnica to r koła wpi
trójkąt-boki ciąg arytmetyczny różnica to r koła wpi
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Wykaż, że jego różnicą jest długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
- DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
trójkąt-boki ciąg arytmetyczny różnica to r koła wpi
Niech
\(\displaystyle{ a:=x-r\\b:=x\\c:=x+r}\)
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ (x-r)^{2}+x^{2}=(x+r)^{2}\\x(x-4r)=0\\x=4r}\)
Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\) (w tablicach jest na to gotowy wzorek, a jak nie to można go łatwo wyprowadzić), czyli równoważnie: \(\displaystyle{ r=\frac{x-2r}{2}}\). Ale \(\displaystyle{ x=4r}\) skąd dostajemy naszą tezę: \(\displaystyle{ r=\frac{4r-2r}{2}=r}\)
\(\displaystyle{ a:=x-r\\b:=x\\c:=x+r}\)
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ (x-r)^{2}+x^{2}=(x+r)^{2}\\x(x-4r)=0\\x=4r}\)
Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\) (w tablicach jest na to gotowy wzorek, a jak nie to można go łatwo wyprowadzić), czyli równoważnie: \(\displaystyle{ r=\frac{x-2r}{2}}\). Ale \(\displaystyle{ x=4r}\) skąd dostajemy naszą tezę: \(\displaystyle{ r=\frac{4r-2r}{2}=r}\)