Trójkąt ABC

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mafiapl4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 maja 2011, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Konin
Podziękował: 15 razy

Trójkąt ABC

Post autor: mafiapl4 »

W trójkącie ABC dany jest wierzchołek \(\displaystyle{ A=(6;13)}\) oraz równania prostych zawierających środkowe dwóch jego boków:
\(\displaystyle{ x+3y-35=0}\) \(\displaystyle{ \wedge}\)\(\displaystyle{ 13x+9y-145=0}\)

Wyznacz wierzchołki \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) trójkąta i oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Znalazłem punkt przecięcie się środkowych\(\displaystyle{ S(4; \frac{31}{3})}\) , znazałem długość odcinka \(\displaystyle{ \left|AS \right|( \frac{10}{3})}\) , nie wiem jak znaleźć współrzędne pozostałych punktów. Proszę o pomoc
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt ABC

Post autor: anna_ »

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Proponuję najpierw poszukać współrzędnych punktu \(\displaystyle{ D}\)
\(\displaystyle{ D}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\)
Punkt D leży na prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\)
\(\displaystyle{ |AS|= \frac{2}{3} |AD|}\)
mafiapl4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 maja 2011, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Konin
Podziękował: 15 razy

Trójkąt ABC

Post autor: mafiapl4 »

Doszedłem do wzoru:
\(\displaystyle{ 25=(d _{1} -6)^2 + (d _{2} -13)^2}\) gdzie \(\displaystyle{ d _{1} ,d _{2}}\) to współrzędne punktu \(\displaystyle{ D(d _{1} ,d _{2} )}\)
Jak go rozwiązać? Proszę o pomoc.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt ABC

Post autor: anna_ »

Nie doczytałeś uważnie mojego posta:
anna_ pisze: Punkt D leży na prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ S}\)
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) muszą spełniać równanie prostej przechodzacej przez te dwa punkty.
mafiapl4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 maja 2011, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Konin
Podziękował: 15 razy

Trójkąt ABC

Post autor: mafiapl4 »

Czyli do tego warunku dorzucić jeszcze warunek, że punkt \(\displaystyle{ D(d _{1} ,d _{2} )}\) należy do prostej \(\displaystyle{ y= \frac{4}{3}x+5}\) ?
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Trójkąt ABC

Post autor: anna_ »

Tak.

-- dzisiaj, o 19:25 --

Kurcze, wyjdą dwa punkty. Nie bardzo wiem jak bez dokładnego rysunku można jeden z nich odrzucić. Może jeden wyszedłby z wektorów?

-- dzisiaj, o 19:53 --

Zapomnij o tym co pisałam wcześniej.

Współrzędne punktu \(\displaystyle{ D=(x,y)}\) licz z

\(\displaystyle{ \vec{AS} =2 \vec{SD}}\)

\(\displaystyle{ [4-6,\frac{31}{3} -13]=2[x-4,y- \frac{31}{3} ]}\)

Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ D=(3,9)}\)
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trójkąt ABC

Post autor: Sherlock »

Mając \(\displaystyle{ D(3,9)}\) dalej to już korzystanie ze wzoru na współrzędne środka odcinka (punkt D to środek odcinka BC, współrzędne pozostałych wierzchołków "leżą" na podanych środkowych):
Pierwsza środkowa:
\(\displaystyle{ y_1=- \frac{1}{3}x_1+ \frac{35}{3}}\)
Druga środkowa:
\(\displaystyle{ y_2=- \frac{13}{9}x_2+ \frac{145}{9}}\)
Ze wzoru na środek odcinka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x_1+x_2}{2}=3 \\ \frac{y_1+y_2}{2}=9 \end{cases} \\
\begin{cases} \frac{x_1+x_2}{2}=3 \\ \frac{- \frac{1}{3}x_1+ \frac{35}{3}- \frac{13}{9}x_2+ \frac{145}{9}}{2}=9 \end{cases}}\)

z układu wyliczyć \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\), potem zaś \(\displaystyle{ y_1}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) - otrzymamy współrzędne pozostałych wierzchołków.
ODPOWIEDZ