Środkowe w dowolnym trójkącie...

[madzik]

Ludzie, pomocy! nie wiem jak rozwiązać to zadanie:
Środkowe w trójkącie ABC mają długości k, l, m. Znajdź długość boku AB.
Mam nadzieję, że ktoś to rozwiąże:)

[bartholdy]

Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów \(\displaystyle{ ABG}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\).
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad m^2=a^2+4b^2-4ab\cos\alpha\\
4c^2=4a^2+4b^2-8ab\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad 2^\circ \quad 4ab\cos\alpha = 2a^2+2b^2-2c^2\\\\
1^\circ \quad i \quad 2^\circ
\\
m^2=2b^2+2c^2-a^2}\)

Tą samę metodę stosujesz do pozostałych trójkątów \(\displaystyle{ ABF i AFC}\). Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{array}{l}m^2=2b^2+2c^2-a^2\\
k^2=2b^2+2a^2-c^2\\
l^2=2c^2+2a^2-b^2\end{array}}\)

Stąd wyliczasz \(\displaystyle{ b}\) i mnożysz razy \(\displaystyle{ 2}\), bo jak na rysunku widać oznaczyłem \(\displaystyle{ |AB| = 2b}\) dla ładniejszych rachunków.

[madzik]

Bardzo dziękuję:) uratowałeś mnie