stosunek obwodu i pola okręgu

[MalinowaAlchemiczka]

Jeśli cięciwa dzieli obwód okręgu w stosunku 3:5, to w jakim stosunku dzieli pole koła?

[Mistrz]

1. Jeżeli dzieli obwód okręgu w stosunku 3:5 to jest oparta na kącie środkowym o mierze \(\displaystyle{ 135^o}\).
2. Załóżmy, że promień okręgu jest \(\displaystyle{ r}\). Przy tym założeniu obliczymy pole kawałka odciętego przez tę cięciwę jako różnicę wycinka koła o kącie \(\displaystyle{ 135^o}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) oraz trójkąta równoramiennego o długości ramienia \(\displaystyle{ r}\) i kącie między ramionami \(\displaystyle{ 135^o}\).
2a. Pole tego wycinka koła to \(\displaystyle{ \frac{3}{8} \cdot \pi r^2}\).
2b. Pole tego trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin 135^o = \frac{\sqrt{2} r^2}{4}}\).

[Psiaczek]

Jeśli cięciwa dzieli obwód okręgu w stosunku 3:5, to w jakim stosunku dzieli pole koła?

Tak na szybko porachowane wychodzi mi
\(\displaystyle{ \frac{3 \pi -2 \sqrt{2} }{5 \pi +2 \sqrt{2} }}\)

[MalinowaAlchemiczka]

Jeśli cięciwa dzieli obwód okręgu w stosunku 3:5, to w jakim stosunku dzieli pole koła?

Tak na szybko porachowane wychodzi mi
\(\displaystyle{ \frac{3 \pi -2 \sqrt{2} }{5 \pi +2 \sqrt{2} }}\)

Skąd wzięło się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) ?

[Psiaczek]

Skąd wzięło się \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) ?

Tam wyżej kolega już ci porozpisywał co nieco, ja liczyłem w głowie więc brałem okrąg jednostkowy (pole koła jednostkowego \(\displaystyle{ \pi}\), wtedy odejmujemy od pola wycinka 135-stopniowego równego\(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{8}}\) pole trójkąta równoramiennego o dwóch bokach długości 1 i kącie 135 stp, które ze wzoru sinusowego wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i stąd się te pierwiastki biorą.