Trapez prostokątny

[mafiapl4]

W trapez prostokątny wpisano okrąg o danym promieniu r. Jedna z podstaw trapezu ma długość 3r. Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu z bokami trapezu.

[anna_]

AU

0202957ffa686f1e.png (12.83 KiB) Przejrzano 85 razy

[/url]

Coś tam wymyśliłam, tyle, że liczenia dużo.
\(\displaystyle{ b}\) - krótsza podstawa
\(\displaystyle{ c}\) - ramię
\(\displaystyle{ h=2r}\) - wysokość

Kolejność obliczeń:
1. \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) z ukladu
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2r+c=3r+b \\ (3r-b)^2+(2r)^2=c^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2r+c=3r+b}\)

2. \(\displaystyle{ sin \sphericalangle B= \frac{2r}{c}}\)
3. \(\displaystyle{ cos \sphericalangle B}\) z jedynki trygomonetrycznej
4. \(\displaystyle{ EF}\) z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ EBF}\)
5. \(\displaystyle{ GF}\) z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ EFG}\)
6. potem liczysz pola trójkątów \(\displaystyle{ EOH}\), \(\displaystyle{ HOG}\),\(\displaystyle{ EFG}\)

[Gadziu]

\(\displaystyle{ a=\left( r+x\right)

y=r \sqrt{2}

3r+a=2r+c

2r=c-x

na podst. tw. Pitagorasa dla \Delta EBD

2r ^{2}+\left( 2r-x\right)^{2}=c ^{2}

c= \sqrt{2r ^{1} +\left( 2r-x\right)^{2}}

2r+x=\sqrt{2r ^{1} +\left( 2r-x\right)^{2}}


x=\frac{r}{4}

cos\gamma= \frac{2r- \frac{r}{4} }{2r+ \frac{r}{4} }

cos\gamma= \frac{7}{9}

na podst. tw cos dla \Delta GBF

g ^{2}=4r ^{2}+4r ^{2}-8r ^{2} \cdot \frac{7}{9}

g= \frac{4}{3} r

na podst. tw. Pit. dla \Delta FGH

\left( \frac{4}{3}r \right) ^{2} +z ^{2}=\left( 2r\right) ^{2}

z= \frac{2r}{3} \sqrt{5}}\)

No i liczysz pola Trójkątów FGH i FIH i już:)