Wykaż, że dany kąt jest prosty. Sprawdzenie.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: (matura podstawowa 2011)
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB || CD}\) . Na boku \(\displaystyle{ BC}\) wybrano taki punkt \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ |EC| = |CD|}\) i \(\displaystyle{ |EB| = |BA|}\). Wykaż, że kąt AED jest prosty.

Zrobiłem to w taki sposób:
Rysunek:


\(\displaystyle{ |EC| = |CD|}\)
\(\displaystyle{ |EB| = |BA|}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AED = 90 ^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ |EB| = |BA| \Rightarrow \sphericalangle EAB = \sphericalangle BEA = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABE + 2 \alpha = 180 ^{\circ} \Rightarrow \alpha = 45 ^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ |EC| = |CD| \Rightarrow \sphericalangle EDC = \sphericalangle DEC = \beta}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DCE + 2 \beta = 180 ^{\circ} \Rightarrow \beta = 45 ^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \beta \Rightarrow \sphericalangle EAB = \sphericalangle BEA = \sphericalangle EDC = \sphericalangle DEC = 45 ^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle AED = \sphericalangle BEC - 2 \alpha}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AED = 180 ^{\circ} - 90 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AED = 90 ^{\circ}}\) cbdu.

Czy taki dowód jest poprawny? Proszę o odpowiedź i pozdrawiam.

[kamil13151]

Jest to dowód niepoprawny, ponieważ założyłeś że kąt ABE i ECD jest prosty, a tego w zadaniu nie ma.

[dawid.barracuda]

A nie wystarczy po prostu wymazać tej linijki z dowodu i rysunku? Tak na dobrą sprawę nie posługuję się nigdzie w dowodzie miarą kąta AED i na końcu dopiero mi wychodzi, że jest prosty.

[kamil13151]

nie posługuję się nigdzie w dowodzie miarą kąta AED

Zobacz jakie ja kąty napisałem...

Na tych kątach opiera się cały dowód. Także całkowicie jest błędny.

[dawid.barracuda]

A faktycznie, przepraszam. Więc jak to powinno wyglądać poprawnie wraz z rysunkiem?

[kamil13151]

Poszukaj, bo te zadanie było omawiane parę razy na forum.

[dawid.barracuda]

Okej, już znalazłem. Dzięki za wyprowadzenie mnie z błędu. Pozdrawiam.