Konifiguracja plaszczyzn

[olgalagowska]

Mowimy ze konfiguracja plaszczyzn w \(\displaystyle{ R^3}\) jest w polozeniu ogolnym, jezli zadne dwie plaszczyzny nie sa rownolegle, zadne trzy nie przecinaja sie w pojedynczym punkcie, i zadne cztery plaszczyzny nie przechodza przez ten sam punkt.
Na jak duzo czesci jest \(\displaystyle{ R^3}\) podzielony przez \(\displaystyle{ N}\) plaszczyzn w polozeniu ogolnym?

[Mistrz]

Spróbuj rozwiązać to samo zadanie tylko o wymiar niżej. Na ile części dzieli płaszczyznę \(\displaystyle{ n}\) prostych w położeniu ogólnym?

[olgalagowska]

jesli rozwiazuje o wymiar nizej, tzn na ile czesci dzieli plaszczyzne n prostych otrzymuje ponizszy wzor:

\(\displaystyle{ a_n= \frac{n(n+1)}{2} + 1}\).

W jaki sposob mam go zastosowac do \(\displaystyle{ R^3}\)?

[Mistrz]

Dobrze. Inaczej można zapisać \(\displaystyle{ a_n = {n+1 \choose 2} +1}\). No to teraz niech \(\displaystyle{ b_n}\) oznacza rozwiązanie naszego zadania, czyli na ile kawałków dzieli przestrzeń n płaszczyzn w położeniu ogólnym. Postaramy się wyznaczyć wzór rekurencyjny na \(\displaystyle{ b_n}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ b_1 = 2}\) oraz \(\displaystyle{ b_2 = 4}\). Przypuśćmy teraz, że wiemy, ile wynosi \(\displaystyle{ b_n}\) i chcemy wyznaczyć \(\displaystyle{ b_{n+1}}\). Mamy więc w przestrzeni \(\displaystyle{ n}\) płaszczyzn w położeniu ogólnym, które dzielą tę przestrzeń na \(\displaystyle{ b_n}\) kawałków. Dokładamy kolejną, \(\displaystyle{ (n+1)}\)-szą płaszczyznę (oznaczmy ją \(\displaystyle{ L}\)) i pytamy: Ile nowych kawałków powstało? Przyjrzyjmy się bliżej części wspólnej \(\displaystyle{ L}\) z pozostałymi płaszczyznami. Otóż przecięcie każdej z \(\displaystyle{ n}\) płaszczyzn z płaszczyzną \(\displaystyle{ L}\) jest prostą. Mamy zatem na płaszczyźnie \(\displaystyle{ L}\) narysowanych \(\displaystyle{ n}\) prostych w położeniu ogólnym, które to proste dzielą ją na \(\displaystyle{ a_n}\) fragmentów. Każdy taki fragment dzieli na dwa jeden z dotychczasowych kawałków przestrzeni wyznaczanych przez \(\displaystyle{ n}\) płaszczyzn. Oznacza to, że dołożenie płaszczyzny \(\displaystyle{ L}\) dodało nam \(\displaystyle{ a_n}\) nowych kawałków przestrzeni. W wyniku powyższego rozumowania otrzymujemy wzór rekurencyjny: \(\displaystyle{ b_{n+1} = b_n + a_n}\). W tym miejscu zatrzymaj się i upewnij, że ogarniasz tę część rozumowania, bo to była najfajniejsza część tego zadania

Teraz, mając wzór rekurencyjny wyznaczymy wzór jawny:
\(\displaystyle{ b_n = b_{n-1} + a_{n-1} = b_{n-2} + a_{n-2} + a_{n-1} = ... = b_1 + a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = 2 + \sum_{i=1}^{n-1} a_i = 2+ \sum_{i=1}^{n-1} \left( {i+1 \choose 2} + 1 \right) = n+1 + \sum_{i=1}^{n-1} {i+1 \choose 2} = 1+n+{n+1 \choose 3}}\)

Być może gdzieś się pomyliłem, bo wynik powinien być chyba trochę inny. Sprawdź to. I pytaj, jeśli czegoś nie rozumiesz.

[olgalagowska]

Rozumiem jak dotad w sumie jak sie tak dobrze zastanowic to jesli sie zrozumialo o wymiar nizej to teraz w sumie jest potrzeba troche wyobrazni graficznej i wszystko sie uklada w calosc.