Dzielenie kwadratow

[olgalagowska]

Majac \(\displaystyle{ n}\) dowolnych kwadratow, pokaz ze zawsze mozna je podzielic na mniejsze czesci, za pomoca czego mozna zbudowac nowy (wiekszy) kwadrat.

[norwimaj]

Spróbuj najpierw pokazać, że dowolny prostokąt jest równoważny przez pocięcie z kwadratem. Zajrzyj też .

[olgalagowska]

Hmm nie za bardzo wiem jak to pokazac...

[norwimaj]

Jeśli boki prostokąta spełniają nierówność \(\displaystyle{ b\le a\le 5b}\), to działa poniższa konstrukcja. W przeciwnym razie możemy prostokąt poprawić rozcinając go na pół wzdłuż jednego boku i sklejając wzdłuż drugiego. Czynność powtarzamy, aż zajdzie nierówność \(\displaystyle{ b\le a\le 5b}\).

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,130){2}{\line(1,0){180}}
\multiput(0,0)(180,0){2}{\line(0,1){130}}
\qbezier(9.377,0)(9.377,0)(90,130)
\qbezier(0,130)(0,130)(65,89.689)
\qbezier(34.377,40.311)(34.377,40.311)(99.377,0)
\put(-10,60){$b$}
\put(90,-10){$a$}
\put(-10,-10){$A$}
\put(182,-10){$B$}
\put(182,132){$C$}
\put(-10,132){$D$}
\put(85,135){$E$}
\put(5,-13){$F$}
\put(95,4){$G$}
\put(68,82){$H$}
\put(27,43){$J$}
\end{picture}}\)

\(\displaystyle{ E}\) - środek odcinka \(\displaystyle{ CD}\),
\(\displaystyle{ F}\) - punkt na prostej \(\displaystyle{ AB}\), taki że \(\displaystyle{ EF=\sqrt{ab}}\) oraz \(\displaystyle{ AF\le FB}\),
\(\displaystyle{ G}\) - taki punkt, że \(\displaystyle{ FGED}\) jest równoległobokiem,
\(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ J}\) - rzuty prostopadłe punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ G}\) na prostą \(\displaystyle{ EF}\).

Prostokąt rozcinamy wzdłuż odcinków \(\displaystyle{ EF}\), \(\displaystyle{ DH}\), \(\displaystyle{ JG}\) i składamy z nich kwadrat.


Inna konstrukcja jest pokazana

Kod: Zaznacz cały

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SquareRectangle.shtml

.