Pole powierzchni czworokąta - zadanie optymalizacyjne

Warlok20 · Post autor: **Warlok20** » 5 paź 2011, o 14:34

Na bokach kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) o polu \(\displaystyle{ 16 cm^{2}}\) zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ K,L,N,N}\) tak że: \(\displaystyle{ |AK|=|DL|=|CM|=|BN|}\). Jak należy wybrać punkty \(\displaystyle{ K,L,M,N}\), aby pole czworokąta \(\displaystyle{ KLMN}\) było najmniejsze

: AU; 33wtn5z.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 540 razy

Proszę o wytłumaczenie drugiego zdania....

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 5 paź 2011, o 15:10

A co to ma wspólnego z teorią liczb?

Oznacz te długości jako x. Bok dużego kwadratu to 4. Z Pitagorasa dla trójkąta AKN wyznaczysz bok małego kwadratu podniesiony do kwadratu, czyli pole małego kwadratu. Dostaniesz funkcję kwadratową zmiennej x, której wykresem będzie parabola z ramionami do góry. Ta funkcja opisuje pole małego kwadratu w zależności od x. Oblicz współrzędną p jej wierzchołka i to jest x dla którego pole kwadratu jest najmniejsze.

Warlok20 · Post autor: **Warlok20** » 5 paź 2011, o 15:23

skąd mam wziąć dane... do odcinka AK?

Tak w ogóle to nic nie czaje;/

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 5 paź 2011, o 15:34

Jedna przyprostokątna to x a druga to 4-x

Warlok20 · Post autor: **Warlok20** » 5 paź 2011, o 15:38

O taki wzór powinien wyjść?

\(\displaystyle{ 2x ^{2}-8x+16=y?}\)

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 5 paź 2011, o 15:39

Warlok20 · Post autor: **Warlok20** » 5 paź 2011, o 15:40

Już czaję. Dziękuję bardzo.

-- 5 paź 2011, o 15:51 --

A jak zrobić tak samo tylko, że z trójkątem?

tam nie ma trójkąta prostokątnego;/-- 5 paź 2011, o 15:56 --

: AU; 2a8rnue.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 540 razy

abc666 · Post autor: **abc666** » 5 paź 2011, o 17:58

Ale ten \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest np. równoboczny czy dowolny?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 5 paź 2011, o 18:35

Jeżeli duży trójkąt jest równoboczny to mały też (łatwo to wykazać na podstawie kątów - zresztą w poprzednim przykładzie też powinniśmy wykazać, że ta mniejsza figura to kwadrat).
Oznaczamy jak poprzednio x. Pole tego mniejszego trójkąta równobocznego to pole dużego trójkąta minus cztery pola najmniejszych trójkątów. Wysokość najmniejszego trójkąta liczymy z \(\displaystyle{ sin 60 ^{o}}\). Liczymy pola wszystkich najmniejszych, odejmujemy to od pola dużego i znów mamy funkcję kwadratową i jak poprzednio liczymy p.

Warlok20 · Post autor: **Warlok20** » 9 paź 2011, o 15:58

Wysokość będzie równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3}}{2}(x-10)}\)?
A Pole tego małego trójkąta wtedy wychodzi mi \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}x+ \frac{35 \sqrt{3}}{2}}\) dobrze?

gdy pole ten duży ma \(\displaystyle{ 16cm^{2}}\) I jest to trójkąt równoboczny

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 9 paź 2011, o 18:53

Jeżeli pole trójkąta równobocznego wynosi \(\displaystyle{ 16cm ^{2}}\) to jaka jest długość boku tego trójkąta?
Skąd wziąłeś \(\displaystyle{ x-10}\) we wzorze na wysokość?