dziesięć okręgów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

dziesięć okręgów

Post autor: darek20 »

Obliczyć maksymalną ilość części, na które może być podzielona płaszczyzna przez 10 okręgów.
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

dziesięć okręgów

Post autor: adampx »

Próbowałem na rózne sposoby, wydaje mi się że z uwagi na maksymalną liczbę przecięć pozostalych okręgów, tworzony jest następujący ciąg:

\(\displaystyle{ a_{n}= 2, 4, 8, 14, 20, ...}\)

tak więc \(\displaystyle{ a_{10}= 80}\)

Dla przykładu - 4 okręgi=14 części:
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

dziesięć okręgów

Post autor: darek20 »

a jak doszedłes ze \(\displaystyle{ a_{10}=80}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

dziesięć okręgów

Post autor: norwimaj »

A czy dla pięciu okręgów nie da się podzielić na \(\displaystyle{ 22}\) części zamiast \(\displaystyle{ 20}\)? Moim zdaniem poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 92}\).
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

dziesięć okręgów

Post autor: adampx »

różnica pomiędzy kolejnymi elementami ciągu zwiększa się o 2, dlatego że każdy kolejny okrąg przecinasz dwukrotnie, a okręgów tych jest za każdym razem więcej o jeden. Ja tak rozumuję, mam nadzieję że poprawnie..

1 okrąg -> 2 części płaszczyzny
2 okręgi -> 4 częsci płaszczyzny (różnica z poprzednią opcją wynosi: 2)
3 okręgi -> 8 częsci płaszczyzny (różnica wynosi: 2+2=4)
4 okręgi -> 14 części płaszczyzny (różnica wynosi: 4+2=6)
5 okręgów -> 22 części płaszczyzny (różnica wynosi: 6+2=8)
...

i tak dalej. Nawet teraz widzę mój błąd, części powinno być 92 !

-- 3 paź 2011, o 22:49 --
norwimaj pisze:A czy dla pięciu okręgów nie da się podzielić na \(\displaystyle{ 22}\) części zamiast \(\displaystyle{ 20}\)? Moim zdaniem poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 92}\).
Właśnie tu zrobiłem błąd, zgadza się - odpowiedź to 92
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

dziesięć okręgów

Post autor: darek20 »

oki
adampx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 4 mar 2009, o 09:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 29 razy

dziesięć okręgów

Post autor: adampx »

najlepiej sam policz, będzie nas już trzech do sprawdzenia
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

dziesięć okręgów

Post autor: norwimaj »

No dobrze. Każde dwa różne okręgi przecinają się w co najwyżej dwóch punktach, i tak można uzasadnić, że nie da się zrobić podziału na więcej niż \(\displaystyle{ 92}\) części.

Jeszcze do pokazania zostało, że podział na \(\displaystyle{ 92}\) części istnieje, czyli że istnieje taka rodzina dziesięciu okręgów, że każde dwa się przecinają w dwóch punktach. Ale to jest nietrudne. Odcinek długości \(\displaystyle{ 1}\) dzielimy na \(\displaystyle{ 9}\) części. Punkty podziału i końce odcinka będą środkami okręgów o promieniu \(\displaystyle{ 1}\). W takiej rodzinie okręgów każde dwa przecinają się w dwóch punktach.

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)(0,0)
\newsavebox{\kolo}
\savebox{\kolo}(0,0){
\qbezier(50,0)(50,20.710678)(35.355339,35.355339)
\qbezier(0,50)(20.710678,50)(35.355339,35.355339)
\qbezier(-50,0)(-50,20.710678)(-35.355339,35.355339)
\qbezier(0,50)(-20.710678,50)(-35.355339,35.355339)
\qbezier(50,0)(50,-20.710678)(35.355339,-35.355339)
\qbezier(0,-50)(20.710678,-50)(35.355339,-35.355339)
\qbezier(-50,0)(-50,-20.710678)(-35.355339,-35.355339)
\qbezier(0,-50)(-20.710678,-50)(-35.355339,-35.355339)
}
\multiput(0,0)(5.55556,0){10}{\usebox{\kolo}}
\end{picture}
}\)


Można też inaczej dobrać proporcje promienia do długości odcinka:

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)(0,0)
\newsavebox{\kolo}
\savebox{\kolo}(0,0){
\qbezier(50,0)(50,20.710678)(35.355339,35.355339)
\qbezier(0,50)(20.710678,50)(35.355339,35.355339)
\qbezier(-50,0)(-50,20.710678)(-35.355339,35.355339)
\qbezier(0,50)(-20.710678,50)(-35.355339,35.355339)
\qbezier(50,0)(50,-20.710678)(35.355339,-35.355339)
\qbezier(0,-50)(20.710678,-50)(35.355339,-35.355339)
\qbezier(-50,0)(-50,-20.710678)(-35.355339,-35.355339)
\qbezier(0,-50)(-20.710678,-50)(-35.355339,-35.355339)
}
\multiput(0,0)(10,0){10}{\usebox{\kolo}}
\end{picture}
}\)


Mam nadzieję że liczba części się zgadza.
ODPOWIEDZ