[3 zadania] Pole pięciokąta, kwadraty.

[choco95]

1. W pięciokącie wypukłym ABCDE pola trójkątów ABC, BCD, CDE, DEA, EAB są równe 1. Wyznaczyć pole tego pięciokąta.

2. W kwadracie ABCD o boku 2 punkt E jest środkiem boku AD, zaś F środkiem boku DC. Niech G będzie punktem przecięcia prostych BE i AF, zaś H punktem przecięcia prostych BD i AF. Obliczyć pole czworokąta EGHD.

3. W kwadracie ABCD niech punkty K i L będą środkami boków AD i CD. Przez X, Y, Z oznaczmy odpowiednio punkty przecięć odcinków AL i BK, AL i CK oraz BL i CK. Wyznaczyć pole czworokąta BXYZ jeśli bok kwadratu ma długość a.

[Pancernik]

Zadanie 2.
Nanieśmy kwadrat ABCD na układ współrzędnych:
\(\displaystyle{ A = \left( 0,0 \right),B = \left( 2,0 \right),C = \left( 2,2 \right),D = \left( 0,2 \right),E = \left( 0,1 \right),F = \left( 1,2 \right)}\)
Niech funkcja f przechodzi przez punkty A i F:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=b\\ 2=a+b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=0\\ a=2\end{cases}\\
f\left( x\right) =2x}\)
Niech funkcja g przechodzi przez punkty E i B:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1=b\\ 0=2a+b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=1\\ a=- \frac{1}{2} \end{cases}\\
g\left( x\right) =- \frac{1}{2} x+1}\)
Niech funkcja h przechodzi przez punkty D i B:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=b\\ 0=2a+b\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=2\\ a=-1\end{cases}\\
h\left( x\right) =-x+2}\)
Punkt G jest przecięciem prostej f i g:
\(\displaystyle{ 2x=- \frac{1}{2} x+1 \Rightarrow x= \frac{2}{5}\\
f\left( \frac{2}{5}\right) =2 \cdot \frac{2}{5}= \frac{4}{5} \\
G=\left( \frac{2}{5},\frac{4}{5}\right)}\)
Punkt H jest przecięciem prostej f i h:
\(\displaystyle{ 2x= -x+2 \Rightarrow x= \frac{2}{3}\\
f\left( \frac{2}{3}\right) =2 \cdot \frac{2}{3}= \frac{4}{3} \\
H=\left( \frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)}\)
Pole czworokąta DEGH jest równe różnicy pól trójkątów ADH i AEG.
\(\displaystyle{ P_{ADH}= \frac{1}{2} \left| AD\right| \cdot d_{H \mbox{ od } AD}\\
P_{ADH} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}\\
P_{AEG}= \frac{1}{2} \left| AE\right| \cdot d_{G \mbox{ od } AE}\\
P_{AEG} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{2}{5}=\frac{1}{5}\\
P_{DEGH}=P_{ADH}-P_{AEG}\\
P_{DEGH}=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}= \frac{7}{15}}\)

[frej]

1. Zwardoń 2007 zadanie 7
2. Niech \(\displaystyle{ X \in AD}\) oraz \(\displaystyle{ XF||BD}\). Wtedy \(\displaystyle{ \triangle FDX}\) równoramienny, więc z Talesa \(\displaystyle{ \frac{AH}{AF}=\frac{2}{3}}\), więc \(\displaystyle{ \boxed{[AHD] = \frac{2}{3} [ADF] = \frac{2}{3}}}\)
Mamy też \(\displaystyle{ \triangle AGE \sim \triangle ADF}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{AG}{DA}= \frac{AE}{AF}}\), skąd \(\displaystyle{ \frac{AG}{AF}=\frac{DA \cdot AE}{AF^2}= \frac{DA\cdot AE}{AD^2+FD^2}=\frac{2}{5}}\). Wnioskujemy z tego, że \(\displaystyle{ [AGE]=\frac{2}{5} [ADF]=\frac{2}{5}}\)
Czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{2}{3} - \frac{2}{5}}\)-- 24 września 2011, 21:11 --3. \(\displaystyle{ [BXLC]=[BALC]-[ABK}+[AXK]}\)
\(\displaystyle{ [CYL]=\frac{YL}{AL} [ACL]=\frac{1}{3}[ACL]}\)
\(\displaystyle{ [BZC]=[BAX]}\)
wystarczy to połączyć i spojrzeć do zadania 2.

[Pancernik]

Zadanie 3.
Nanieśmy kwadrat ABCD na układ współrzędnych:
\(\displaystyle{ A = \left( 0,0 \right),B = \left( a,0 \right),C = \left( a,a \right),D = \left( 0,a \right),E = \left( 0, \frac{a}{2} \right),F = \left( \frac{a}{2},a \right)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) przechodzi przez punkty A i L:
\(\displaystyle{ f\left( x\right) = 2x}\)
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) przechodzi przez punkty B i K:
\(\displaystyle{ g\left( x\right) = - \frac{1}{2} x+ \frac{a}{2}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ h}\) przechodzi przez punkty C i K:
\(\displaystyle{ h\left( x\right) = \frac{1}{2} x+ \frac{a}{2}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ i}\) przechodzi przez punkty B i L:
\(\displaystyle{ i\left( x\right) = -2x+ 2a}\)
Punkt X jest przecięciem funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\):
\(\displaystyle{ X=\left( \frac{a}{5} , \frac{2a}{5} \right)}\)
Punkt Y jest przecięciem funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ h}\):
\(\displaystyle{ Y=\left( \frac{a}{3} , \frac{2a}{3} \right)}\)
Punkt Z jest przecięciem funkcji \(\displaystyle{ h}\) i \(\displaystyle{ i}\):
\(\displaystyle{ Z=\left( \frac{3a}{5} , \frac{4a}{5} \right)}\)
Jeżeli przekątne czworokąta BXYZ będą pod kątem prostym to jest to deltoid:
Funkcja \(\displaystyle{ j}\) przechodzi przez punkty B i Y:
\(\displaystyle{ j\left( x\right) = -x+a}\)
Funkcja \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkty X i Z:
\(\displaystyle{ k\left( x\right) = x+\frac{a}{5}}\)
Funkcje \(\displaystyle{ j}\) i \(\displaystyle{ k}\) przecinają się pod kontem prostym, a więc jest to deltoid:
\(\displaystyle{ P_{BXYZ}= \frac{\left| BY\right| \cdot \left| XZ\right| }{2} \\
P_{BXYZ}= \frac{ \frac{2a \sqrt{2} }{3} \cdot \frac{2a \sqrt{2} }{5}}{2} =\frac{4a^2 }{15}}\)

[choco95]

frej, mógłbyś umieścić tutaj rozwiązanie zadania 1?

[chlorofil]

Zadanie o którym mówi frej i jego rozwiązanie jest tutaj:
... n2007r.pdf
(str. 20)

Wystarczy zastosować udowodnione tam twierdzenie i z tego wychodzi od razu rozwiązanie zadania nr 1.