Mam 3 podobne zadania, umiem zrobić tylko to pierwsze.
1. Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta.
tu sobie narysowałam, potem z własności trójkątów 30,60,90 i wyszło
Ale problem zaczyna się gdy jest to już większy wielokąt...
2. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość boku ośmiokąta.
3. Promień okręgu opisanego na dziesięciokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość boku dziesięciokąta.
Jakiś wzór? Metoda inna niż rysowanie?
okręgi opisane na wielokątach
-
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
okręgi opisane na wielokątach
1.
Promienie okręgu opisanego na sześciokącie foremnym poprowadzone do wierzchołków sześciokąta dzielą ten sześciokąt na 6 trójkątów równobocznych. Krótsza przekątna sześciokąta to suma wysokości dwóch takich trójkątów, więc \(\displaystyle{ p=R\sqrt{3}}\)
2.
Tu promienie dzielą ośmiokąt na 8 trójkątów równoramiennych o ramionach R i kącie między ramionami o mierze \(\displaystyle{ 45^0}\).
a- bok ośmiokąta
Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=R^2+R^2-2R^2cos45^0\\a^2=2R^2-2R^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R^2(2-\sqrt{2})\\a=R\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
3.
\(\displaystyle{ \frac{360^0}{10}=36^0}\)
\(\displaystyle{ a^2=2R^2-2R^2cos36^0=R^2(2-2cos36^0)\\a=R\sqrt{2-2cos36^0}}\)
Promienie okręgu opisanego na sześciokącie foremnym poprowadzone do wierzchołków sześciokąta dzielą ten sześciokąt na 6 trójkątów równobocznych. Krótsza przekątna sześciokąta to suma wysokości dwóch takich trójkątów, więc \(\displaystyle{ p=R\sqrt{3}}\)
2.
Tu promienie dzielą ośmiokąt na 8 trójkątów równoramiennych o ramionach R i kącie między ramionami o mierze \(\displaystyle{ 45^0}\).
a- bok ośmiokąta
Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=R^2+R^2-2R^2cos45^0\\a^2=2R^2-2R^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R^2(2-\sqrt{2})\\a=R\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
3.
\(\displaystyle{ \frac{360^0}{10}=36^0}\)
\(\displaystyle{ a^2=2R^2-2R^2cos36^0=R^2(2-2cos36^0)\\a=R\sqrt{2-2cos36^0}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 16 lut 2010, o 17:08
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 1 raz
okręgi opisane na wielokątach
Nie wiem jak się oblicza \(\displaystyle{ cos36^0}\) więc mam pytanie, czy ten wynik to to samo co \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} R}\) ? Czy nie ma różnicy i można po prostu zostawić taki wynik z cosinusem?irena_1 pisze:1.
3.
\(\displaystyle{ \frac{360^0}{10}=36^0}\)
\(\displaystyle{ a^2=2R^2-2R^2cos36^0=R^2(2-2cos36^0)\\a=R\sqrt{2-2cos36^0}}\)
No i dzięki wielkie
-
- Moderator
- Posty: 2828
- Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Seattle, WA
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 356 razy
okręgi opisane na wielokątach
Tak. Możesz zostawić w takiej postaci. Ewentualnie jeżeli zależy Ci na jakiejś "normalnej" liczbie, to zerknij do tablic, ale w szkole / na egzaminie możesz bez problemów podać w takiej formie.