okręgi opisane na wielokątach

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
maweave
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 16 lut 2010, o 17:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

okręgi opisane na wielokątach

Post autor: maweave »

Mam 3 podobne zadania, umiem zrobić tylko to pierwsze.

1. Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość krótszej przekątnej sześciokąta.
tu sobie narysowałam, potem z własności trójkątów 30,60,90 i wyszło
Ale problem zaczyna się gdy jest to już większy wielokąt...
2. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość boku ośmiokąta.
3. Promień okręgu opisanego na dziesięciokącie foremnym ma długość R. Oblicz długość boku dziesięciokąta.

Jakiś wzór? Metoda inna niż rysowanie?
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

okręgi opisane na wielokątach

Post autor: Afish »

Najprościej z twierdzenia kosinusów. Oblicz kąt pomiędzy ramionami trójkąta równoramiennego i zastosuj wzór.
irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

okręgi opisane na wielokątach

Post autor: irena_1 »

1.
Promienie okręgu opisanego na sześciokącie foremnym poprowadzone do wierzchołków sześciokąta dzielą ten sześciokąt na 6 trójkątów równobocznych. Krótsza przekątna sześciokąta to suma wysokości dwóch takich trójkątów, więc \(\displaystyle{ p=R\sqrt{3}}\)

2.
Tu promienie dzielą ośmiokąt na 8 trójkątów równoramiennych o ramionach R i kącie między ramionami o mierze \(\displaystyle{ 45^0}\).
a- bok ośmiokąta
Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=R^2+R^2-2R^2cos45^0\\a^2=2R^2-2R^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=R^2(2-\sqrt{2})\\a=R\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

3.
\(\displaystyle{ \frac{360^0}{10}=36^0}\)

\(\displaystyle{ a^2=2R^2-2R^2cos36^0=R^2(2-2cos36^0)\\a=R\sqrt{2-2cos36^0}}\)
maweave
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 16 lut 2010, o 17:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1 raz

okręgi opisane na wielokątach

Post autor: maweave »

irena_1 pisze:1.
3.
\(\displaystyle{ \frac{360^0}{10}=36^0}\)

\(\displaystyle{ a^2=2R^2-2R^2cos36^0=R^2(2-2cos36^0)\\a=R\sqrt{2-2cos36^0}}\)
Nie wiem jak się oblicza \(\displaystyle{ cos36^0}\) więc mam pytanie, czy ten wynik to to samo co \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} R}\) ? Czy nie ma różnicy i można po prostu zostawić taki wynik z cosinusem?

No i dzięki wielkie
Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

okręgi opisane na wielokątach

Post autor: Afish »

Tak. Możesz zostawić w takiej postaci. Ewentualnie jeżeli zależy Ci na jakiejś "normalnej" liczbie, to zerknij do tablic, ale w szkole / na egzaminie możesz bez problemów podać w takiej formie.
ODPOWIEDZ