Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

[jekyll]

Kochani, niestety, ale nie jestem w stanie poradzić sobie z 2 zadaniami. Mam nadzieję, że ktoś wyrazi chęć pomocy .

Zad. 1
Z punktu P, leżącego od środka okręgu w odległości większej niż długość promienia, poprowadzono styczną do okręgów w punkcie A oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach N i M. Widząc, że \(\displaystyle{ \frac{|PN|}{|MP|} = \frac{16}{7}}\), oblicz \(\displaystyle{ \frac{|PA|}{|PN|}}\).

Zad. 2
Proste zawierające cięciwy AB i CD okręgu \(\displaystyle{ o(O, r)}\) przecinają się w punkcie M, który nie należy do okręgu. Wykaż, że \(\displaystyle{ |AM| \cdot |MB| = |MC| \cdot |MD|}\). Rozważ 2 przypadki:
1. M należy do wnętrza koła ograniczonego okręgiem \(\displaystyle{ o(O, r)}\).
2. M jest punktem zewnętrznym koła.
I tu jest informacja, że: twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia o siecznych.

[anna_]

Jesteś pewniem, że chodzi o twierdzenie o stycznych a nie twierdzenie o siecznych?

[jekyll]

Masz rację, chodzi o twierdzenie o siecznych.

[anna_]

Zad. 1
\(\displaystyle{ \frac{|PN|}{|MP|} = \frac{16}{7} \Rightarrow |MP|= \frac{7|PN|}{16}}\)

Z twierdzenia o siecznej

\(\displaystyle{ \frac{|PA|}{|PM|} = \frac{|PN|}{|PA|}}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2=|PM| \cdot |PN|}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2= \frac{7|PN|}{16}\cdot |PN|}\)
\(\displaystyle{ |PA|^2= \frac{7|PN|^2}{16}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|PA|^2}{|PN|^2}= \frac{7}{16}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|PA|}{|PN|}= \frac{ \sqrt{7} }{4}}\)

Zadanie 2
1. dowód jest tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Sieczna